Протоколы передачи данных Протокол с выборочным повтором Сети Петри высокоуровневый протокол управления каналом код Хэмминга Метод выборочного повтора протокол скользящего окна

Электроника

Булевы функции. Способы задания Булевых функций

Все логические схемы, используемые в цифровой электронике, являются прямой реализацией той или иной Булевой функции, то есть прежде чем сконструировать такое устройство, его необходимо математически описать. Это математическое описание всегда начинается с построения Булевых функций, т.е. для определенной комбинации двоичных переменных задается значение Булевых функций.

 Задать Булеву функцию – это указать, при каких комбинациях переменных она равна 0, а при каких равна 1.

F = F(A,B,C,…), где A,B,C,… - аргументы функции ϵ {0,1};

F – результат или сама функция ϵ {0,1}.

Каждую комбинацию аргументов называют набором. Каждому набору присваивается номер. Общепринято номер набора считать равным числу, отображаемому в скобках двоичными переменными.

Пример: набор равен 5 (n=5)

Описываем функцию F для набора: F=F(1,0,1); (A,C = 1, B = 0).

Если функция задана во всех наборах, то такую функцию называют полностью определенной. Если функция задана только в части наборов, то ее называют недоопределенной (или факультативной).

Факультативными называют условия, когда для неопределенных наборов ее можно задать по своему усмотрению. Когда функция задана, дальнейшие ее преобразования опираются на основные теоремы Булевой алгебры.

Порядок выполнения логических операций в конечном выражении полностью соответствует принятому в классической алгебре, за следующими двумя исключениями:

  а) Если инверсия только над одной переменной, то она всегда выполняется первой;

  б) Если инверсия над алгебраическим выражением, то она выполняется в рамках данного приложения последней.

При этом знак равенства указывает только на то, что левые и правые части от него тождественны.

 Существуют следующие способы задания Булевых функций:

1. Словесный (описательный) способ – функция задается в виде текста.

Пример: F(A,B,C)=1, если аргументы в данном наборе имеют нечетное количество единиц (или если два любых аргумента функции равны 0).

  2. Табличный способ задания Булевой функции – строится таблица истинности, в которой указываются номера наборов, соответствующее состояние аргументов и значение самой функции.

 Например: зададим табличным способом Булеву функцию из трех аргументов, которая принимает значение единицы при четном значении нулей аргументов:

набора

A

B

C

F

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

Пример: построим табличным способом Булевы функции управления семисегментным индикатором для трех входных аргументов. При этом примем во внимание, что если логической единице – сегмент горит, при логическом нуле – погашен.

Семисегментный индикатор:

Таблица Булевых функций управления семисегментным индикатором:

набора

Переменные

Булевы функции

a

b

c

d

e

f

g

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

Таким образом, задано сразу семь Булевых функций, которые зависят от общих трех элементов.

Алгебраический способ задания Булевых функций

  Исходным для такого способа является табличное задание Булевых функций. Аналогичная форма необходима для перехода к структурной схеме, для минимизации Булевой функции с целью последующего размещения цифрового устройства на кристалле. Существуют два варианта задания функции алгебраическим способом:

Нормальная дизъюнктивная форма или задание Булевых функций по единицам.

Алгоритм задания следующий: из таблицы выбираются номера наборов, где функция равна 1, и строится сумма элементарных произведений этих наборов, при этом если переменная равна 0, то она берется с инверсией (элементарное произведение - произведение всех переменных для данного набора).

Зададим функцию  и :

=  +  +  

Все, функция задана алгебраическим способом.

=

 2. Нормальная конъюнктивная форма (или задание Булевых функций по нулям).

Из таблицы выбираются наборы, где функция равна 0 и строиться произведение элементарных сумм для этих наборов. Если переменная равна 1, то она берется с инверсией. (Элементарная сумма – сумма всех переменных для данного набора).

Например, зададим  и :

=

=

Какой из форм отдать предпочтение – определяется эффективностью минимизации Булевой функции. Обе формы абсолютно тождественны.

Числовой способ задания Булевых функций

Является наиболее компактным для задания Булевых функций, но крайне неудобен для их минимизации.

Также существует в двух вариантах (по единицам и по нулям).

1. По единицам:

в этом случае под знаком суммы в скобках перечисляются те номера наборов, где функция равна единице:

 = Σ (0,2,6)

= Σ (0,4,5,6).

2. По нулям:

под знаком произведения в скобках перечисляются номера наборов, где функция равна нулю:

 = П (1,4)

 = П (1,4,7).


На главную