Протоколы передачи данных Протокол с выборочным повтором Сети Петри высокоуровневый протокол управления каналом код Хэмминга Метод выборочного повтора протокол скользящего окна

Электроника

 Спектры непереодических синалов


Разложение в ряд Фурье может быть обобщено и на случай непериодического сигнала. Действительно, пусть имеется периодический сигнал с периодом Т и определенными амплитудным и фазовым спектром (рис.2.2).

Частотные характеристики ДК характеризуются амплитудно-частотной и фазо - частотной характеристиками, которые в области средних и высоких частот совпадают с соответствующими характеристиками усилительного каскада с ОЭ (см. лабораторную работу RC усилителя).

 Если функция остается неизменной на интервале , то непериодическую функцию можно рассматривать как предельный случай периодической функции с неограниченно возрастающим периодом. При увеличении Т частота первой гармоники  уменьшается и спектральные линии на рис.2.2 б располагаются чаще. В пределе, при , интервал между линиями в спектре сокращается до нуля, т.е. спектр вместо дискретного становится сплошным, непрерывным. Амплитуды гармоник , согласно (2.1.13), становятся бесконечно малыми. Математически это можно выразить следующим образом. Введем вместо (2.1.13) функцию

  (2.1.17)

Тогда вместо (2.1.11) получим

  (2.1.18)

При   частота  может принимать любое значение ω,

 

Поэтому вместо (2.1.17) и (2.1.18) окончательно получим

 (2.1.19)

  (2.1.20)

Эти два выражения носят название пары преобразований Фурье, которая связывает между собой функцию времени s(t) и комплексную функцию частоты s(jω).

Физический смысл формулы (2.1.20) состоит в том, что непериодический сигнал s(t)имеет непрерывный спектр, т.е. представляется бесконечной суммой гармонических колебаний с бесконечно малыми комплексными амплитудами (ср.(2.1.11))

  (2.1.21)

Функция  имеет размерность  и показывает амплитуду сигнала, приходящуюся на единицу полосы частот в 1 Гц. Поэтому эта непрерывная функция частоты называется спектральной плотностью комплексных амплитуд или просто спектральной плотностью.

Аналогично (2.1.21) спектральную плотность комплексных амплитуд можно представить в виде

  (2.1.22)

где  и  (2.1.23)

  (2.1.24)

 Функция  называется модулем спектральное плотности или спектральной плотностью амплитуд, а  – спектральной плотностью фаз.

Отметим одно важное обстоятельство. Сравнивая выражения (2.1.13) и (2.1.17), замечаем, что при  они отличаются только постоянным множителем, а

  (2.1.26)

т.е. комплексные амплитуды периодической функции с периодом Т можно определять по спектральной характеристике непериодической функции такого же вида, заданной в интервале 0 - Т. Сказанное справедливо и по отношению к модулю спектральной плотности:

  (2.1.26)

Это соотношение формулируется следующим образом: огибающая сплошного амплитудного спектра непериодической функции и огибающая амплитуд линейчатого спектра периодической функции совпадают по форме и отличаются только масштабом (рис .2.2)

Вычислим теперь энергию непериодического сигнала. Умножая обе части равенства (2.1.20) на s(t) и интегрируя в бесконечных пределах, получим

  (2.1.27)

где s(jω) и s(-jω) - комплексно-сопряженные величины. Так как

 

 то

  (2.1.28)

Это выражение называется равенством Парсеваля для непериодического сигнала и аналогично (2.1.16), однако в отличие от последнего оно определяет не среднюю мощность, а полную энергию сигнала. 

 Из (2.1.28) видно, что  есть не что иное, как энергия сигнала, приходящаяся на 1Гц полосы частот около частоты ω.

Поэтому функцию  иногда называют спектральной плотностью энергии сигнала s(t).

В заключение параграфа приведем без доказательства несколько теорем о спектрах, выражающих основные свойства преобразования Фурье.

1. Теорема сложения. Спектр суммы нескольких сигналов  равен сумме спектров этих сигналов:  (2.1.29)

В справедливости этого выражения легко убедиться, используя выражения (2.1.19) и (2.1.20).

2. Теорема запаздывания. Спектральная плотность  сигнала , полученного при сдвиге сигнала s(t) по оси времени на , определяется выражением

 

т.е. сдвиг функции по оси времени приводит к появлению фазового сдвига для всех частотных составляющих, равного .

В справедливости последнего выражения легко убедиться, заменив в (2.1.19) t на .

3. Теорема смещения. Если  - спектр функции s(t) то спектру - , полученному путем сдвига исходного спектра по оси частот на величину , соответствует функция

  (2.1.30)

4. Теорема о спектрах производной и интеграла. Спектры производной и интеграла от функции s(t) определяются соответственно выражениями

 

  (2.1.31)

 5. Теорема о спектре свертки. Сверткой двух функций  и  называется интеграл

  (2.1.32)

 Спектр свертки двух функций равен произведению спектров свертываемых функций:

 (2.1.33)

В частном случае, когда , то

  (2.1.34)

Используя последнее выражение, легко получить ранее введенное равенство Парсеваля (2.1.28).


На главную