Протоколы передачи данных Протокол с выборочным повтором Сети Петри высокоуровневый протокол управления каналом код Хэмминга Метод выборочного повтора протокол скользящего окна

Электроника

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Широко известно использование аппарата Фурье для гармонического анализа детерминированных сигналов, при котором исходная функция разлагается в ряд по элементарным тригонометрическим функциям. Однако аппарат Фурье не является единственным. Можно заданную в интервале времени  функцию f(t) разлагать в ряд по любым другим функциям , принятыми в качестве элементарных:

  (2.4.1)

Сходимость этого ряда почти всегда обеспечивается. Задача разложения всегда сводится к выбору функций  и определению коэффициентов разложения .

Коэффициенты разложения Ск  наиболее легко определяются, если функции   обладают свойством ортогональности. Функции называются ортогональными, если для них выполняется условие

  (2.4.2)

Частота вращения магнитного потока ротора Так как в короткозамкнутом роторе каждый стержень (в пазу проводника) образует отдельную фазу, а пазы ротора сдвинуты в пространстве, то сдвинутые по фазе токи в стержнях создают вращающееся магнитное поле.

 Умножая левую и правую части выражения (2.4.1) на  и интегрируя на интервале , с учетом ортогональности получим

  (2.4.3)

 Второе условие, которым необходимо руководствоваться при выборе функций разложения, заключается в упрощении анализа при теоретических исследованиях.

 Для точного воспроизведения функции при представлении ее в виде ряда необходимо суммировать в общем случае бесконечное число членов. В некоторых случаях допустимо представление функции с некоторой погрешностью. При этом в разложении (2.4.1) можно ограничиться конечным числом членов:

  (2.4.4)

Погрешность представления функции удобно оценивать величиной среднеквадратичной ошибки

 

  (2.4.5)

При выборе функций разложения в этом случае необходимо руководствоваться условием обеспечения минимума ошибки при заданном числе членов ряда. При  величина среднеквадратичной ошибка стремится к нулю, так как

  (2.4.6)

Последнее выражение аналогично равенству Парсеваля, используемому в аппарате Фурье.

 Таким образом, всякую функцию с некоторой погрешностью можно представить в виде ряда с конечным числом членов. Представление непрерывного колебания в виде набора конечного числа функций или чисел называют иногда дискретизацией.

  Возможность представления функции в виде конечного ряда позволяет осуществить следующий способ передачи некоторого сигнала s(t). На передающем конце сигнал s(t) можно разложить в ряд по выбранным функциям  и передавать не сигнал, а лишь коэффициенты разложения . На приемном конце, имея генераторы функций , по принятым коэффициентам можно восстановить переданный сигнал. Следовательно, с этой точки зрения в качестве функций разложения необходимо выбирать такие, которые легко генерировать.

Ниже рассматривается два вида ортогональных разложений: разложение Фурье по гармоническим функциям и разложение Котельникова по функциям отсчетов.

 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ ФУРЬЕ

Рассмотренное выше в § 2.1 представление сигналов в виде ряда Фурье является типичным примером ортогонального разложения. Семейство тригонометрических функций 1, , , , , …, , , … является ортогональным на интервале :

  (2.4.7)

где

Остановимся на некоторых особенностях использования рядов Фурье. Обычно в ряд Фурье принято разлагать периодические функции, а для непериодических функций использовать интеграл Фурье. Однако в теоретических исследованиях используют представление в виде ряда Фурье и непериодических сигналов. Такой переход от интеграла к ряду Фурье приводит к тому, что непериодическая функция длительностью Т вне заданного интервала периодически продолжается с периодом Т. Такая замена непериодической функции периодической в общем случае не всегда допустима. Однако, в технике связи широко используются синхронные системы связи. Синхронная работа предполагает, что в месте приема известны начало и длительность сигнала, и, следовательно, возможна установка "нулевых начальных условий" в момент окончания сигнала. В этих условиях устраняется влияние периодического продолжения непериодического сигнала, и указанная замена при анализе прохождения сигналов через системы связи не приводит к ошибкам. Таким образом, в указанных условиях любой сигнал можно характеризовать как непрерывным, так и дискретным спектром.

Для реальных сигналов связи спектр является быстро убывающей функцией частоты. Поэтому часто бывает возможным ограничиться конечным числом членов в ряде Фурье

  (2.4.8)

при достаточной точности представления сигнала. Если приемлемая точность обеспечивается при числе гармоник, равном N/2, то полоса частот, необходимая для передачи такого сигнала (без постоянной составляющей), равна

  (2.4.9)

Если на приемной стороне имеются управляемые генераторы гармонических составляющих, то для восстановления сигнала необходимо передать

  (2.4.10)

чисел, определяющих коэффициенты разложения.

 Заметим, что для некоторых сигналов представление в виде конечного ряда может быть точным, например, для сигналов, составленных из N/2 гармоник или отрезка одного гармонического колебания, если длительность сигнала кратна период основной гармоники.

Величина В, равная удвоенному произведению длительности сигнала на ширину спектра частот, называется базой сигнала. Как известно из теории спектров, для наиболее часто встречающихся сигналов в виде отдельных импульсов произведение длительности на ширину спектра есть величина постоянная, имеющая порядок единицы: . Для таких сигналов, называемых простыми или узкополосными, база равна 2.

В качестве сигналов можно использовать и такие, которые являются комбинациями простых сигналов (рис.2.24).

Эти комбинации чаще всего представляют собой случайную последовательность простых сигналов. Такие сигналы называются составными или сложными. Для сложных сигналов ширина спектра будет той же, что и для простых, а длительность и соответственно произведение  будет больше. Сигналы, для которых база , называются широкополосными и будут рассмотрены ниже. 


В заключение отметим, что представление сигналов в виде ряда Фурье весьма удобно при исследовании прохождения сигналов через различные линейные цепи. Ряд Фурье из всех возможных ортогональных разложений обеспечивает наименьшую погрешность представления при заданном числе членов разложения N. Однако ряд Фурье неудобен с реализационной точки зрения, так как операции гармонического анализа, а тем более синтеза технически осуществить довольно трудно.


На главную