Протоколы передачи данных Протокол с выборочным повтором Сети Петри высокоуровневый протокол управления каналом код Хэмминга Метод выборочного повтора протокол скользящего окна

Электроника

 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА

 Реальные сигналы имеют ограниченную полосу частот. Такие сигналы обладают замечательным свойством, впервые уставленным В. А. Котельниковым и выраженным в его теореме, играющей фундаментальную роль в теории и технике связи.


Если в общем случае непрерывная функция времени определяется на конечном интервале бесчисленным множеством своих мгновенных значений (рис.2.25), то функции времени с ограниченным спектром согласно теореме Котельникова на конечном интервале определяются конечным множеством своих значений. Метод упрощения схем Для того чтобы показать, как рассчитывать цепь методом упрощения схем, предположим, что в источнике с э.д.с. E1 произошло короткое замыкание между зажимами, то есть E1 = 0.

Отсутствие в функции частот выше некоторой граничной накладывает определенные ограничения на ее изменение в достаточно малом интервале времени . Поэтому через точки, изображающие мгновенные значения функции и взятые через определенный интервал времени друг от друга, можно провести кривую одним единственным способом.

Теорему В. А. Котельникова можно сформулировать в следующем виде:

"Любая функция f(t), спектральная плотность которой отлична от нуля в полосе частот , полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений, взятых в дискретных точках через интервалы времени . Значения функции в любой промежуточной точке определяются выражением

  (2.4.11)

где   - значения непрерывной функции в дискретных точках отсчета .''

 Последнее выражение называется рядом Котельникова, коэффициенты разложения которого представляют собой отсчеты функции, а функциями разложения являются так называемые функции отсчетов

  (2.4.12)

Эти функции обладают свойством

   (2.4.13)


Таким образом, в момент времени  сумма ряда (2.4.11) определяется лишь k-ым слагаемым, все остальные члены ряда в этот момент времени обращаются в нуль. Разложение функции в ряд Котельникова иллюстрируется на рис.2.26.

Функции отсчета ортогональны на бесконечном интервале времени, т.е.

  (2.4.14)

Энергия сигнала через его отсчетные значения выражается следующим образом

  (2.4.15)

Перейдем теперь к доказательству теоремы Котельникова. Пусть спектральная плотность функции f(t)

  (2.4.16)

отлична от нуля в полосе частот . Тогда для этой функции обратным преобразованием Фурье получим

 (2.4.17)

Спектральную функцию , не содержащую периодических составляющих, на интервале  можно разложить в ряд Фурье с периодом ,

  (2.4.18)

коэффициенты которого определяются выражением

  (2.4.19)

Сравнивая (2.4.19) и (2.4.17) замечаем, что

  (2.4.20)

Поэтому ряд (2.4.18) можно запасать в виде

 (2.4.21)

Замечаем, что спектр функции f(t) однозначно определяется ее отсчетами , взятыми через интервал времени

  (2.4.22)

 Подставляя (2.4.21) в (2.4.17) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим

  (2.4.23)

Меняя в последнем выражении знак у индекса к, что изменит значения суммы, окончательно находим

  (2.4.24)

что совпадает с (2.4.11).


На главную