Протоколы передачи данных Протокол с выборочным повтором Сети Петри высокоуровневый протокол управления каналом код Хэмминга Метод выборочного повтора протокол скользящего окна

Электроника

 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

 Функции распределения (интегральная или дифференциальная) достаточно полно характеризуют случайный процесс. Однако часто они оказываются довольно сложными или требуют для своего определения обработки большого числа экспериментальных данных. Кроме того, часто подробного описания процесса не требуется. Потому в этих случаях ограничиваются при описании процессов лишь некоторыми числовыми характеристиками. К ним относятся средние значения, дисперсии и корреляционные функции. Числовые характеристики случайных процессов аналогичны числовым характеристикам случайных величин, которые используются в теории вероятностей, но имеют ту особенность, что представляют собой в общем случае не числа, а функции времени.

 Простейшей характеристикой случайного процесса является его среднее значение или математическое ожидание, определяемое следующим образом. Рассмотрим сечение случайного процесса в некоторый момент времени t. В этом сечении имеем обычную случайную величину, для которой можно найти математическое ожидание. Очевидно, в общем случае оно зависит от выбора момента времени:

   (3.1.13)

где прямая горизонталь нам черта означает условную запись усреднения по множеству или ансамблю возможных реализации.


Таким образом, средним значением случайного процесса  называется неслучайная функция a(t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса (рис. 3.4).

 По смыслу среднее значение случайного процесса представляет собой среднюю функцию, около которой различным образом располагаются отдельные реализации процесса.

 Аналогичным образом определяется среднее значение квадрата случайного процесса:

  (3.1.14)

 Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция, значения которой для каждого момента времени t равны дисперсиям соответствующих сечений случайного процесса, т.е. математическому ожиданию квадрата отклонения случайного процесса от его среднего значения:

  (3.1.15)

Следовательно, дисперсия определяет степень разброса значений случайного процесса около среднего значения.

 Среднее значение и дисперсия характеризуют поведение случайного процесса в отдельные моменты времени. В качестве характеристики, учитывающей статистическую зависимость между значениями случайного процесса в различные моменты времени, используется корреляционная (иначе - автокорреляционная) функция случайного процесса

  (3.1.16)

определяемая как математическое ожидание от произведения значений процесса в два различных момента времени. Анализируя последнее выражение, замечаем, что величина интеграла будет больше в тех случаях, когда с увеличением (уменьшением) значений процесса в момент времени , будут также увеличиваться (уменьшаться) значения процесса в момент времени . Следовательно, корреляционная функция определяет степень линейной зависимости между значениями случайного процесса в различные моменты времени. На рис. 3.5 и 3.6 показаны соответственно два случайных процесса с сильной и слабой статистической зависимостью их значений в моменты времени   и .


Из определения корреляционной функции следует

  (3.1.17)

т.е. она является симметричной относительно начала отсчета времени.

 Для совокупности двух случайных  и  статистическая зависимость между их значениями в различные моменты времени определяется функцией взаимной корреляции 

  (3.1.18)

Если случайные процессы  и  статистически независимы, то согласно (3.1.10)

   (3.1.19)

где   - средние значения случайных процессов  и  соответственно. Если хотя бы для одного из случайных процессов среднее значение равно нулю, то

 

Процессы, для которых взаимная корреляционная функция равна постоянной величине или нулю, называются некогерентными или некоррелированными. Независимые процессы всегда некоррелированы, однако, обратное утверждение в общем случае неверно.

В некоторых случаях вместо корреляционной функции вводится нормированная корреляционная функция или кратко коэффициент корреляции

 

Для совокупности двух случайных процессов средние значения каждого из них определяются по формулам

  (3.1.20)

  (3.1.21)

где внутренние интегралы представляют собой не что иное, как плотности вероятностей   и  соответственно. Аналогичным образом можно определить дисперсию каждого из случайных процессов.


На главную