Интернет-магазин электроники и бытовой техники

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Китайские косметические средства

Китайская народная медицина

Копии смартфонов

Духи от Dior

Стильные браслеты с уникальным дизайном

Термос Bullet

Часы Hublot механические

Гироскутер SmartWay

Женский Интим-гель

Нужен оригинальный подарок? Закажи

Протоколы передачи данных Протокол с выборочным повтором Сети Петри высокоуровневый протокол управления каналом код Хэмминга Метод выборочного повтора протокол скользящего окна

Электроника

 ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

 Рассмотренные выше временные характеристики реализации случайных процессов в общем случае имеют конечное значение не для всех случайных процессов и реализации. Если же они конечны, то могут быть различными для различных реализаций. Исключение составляют так называемые эргодические процессы, для которых временные характеристики для всех реализации одинаковы. Более того, для эргодических процессов временные характеристики, полученные путем усреднения по времени одной единственной реализации, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, совпадают с соответствующими числовыми характеристиками, полученными путем усреднения по множеству (ансамблю) реализации в один момент времени, т.е.

   (3.2.9)

   (3.2.11)

 Советский математик А. Я. Хинчин доказал важную теорию о том, что стационарные в строгом смысле случайные процессы при достаточно общих предположениях являются эргодическими.

 Свойство эргодичности стационарных случайных процессов имеет большое практическое значение. Для таких процессов любая реализация полностью определяет свойства всего процесса в целом. Поэтому при исследовании статистических свойств процесса нет необходимости рассматривать множество его реализации, а можно ограничиться рассмотрением одной единственной его реализации достаточно большой длительности. Например, при изучении свойств шума на выходе какого-либо радиотехнического устройства не нужно иметь большого числа идентичных устройств, а достаточно иметь лишь одно устройство и исследовать на его выходе статистические свойства одной реализации.

 СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

 Как уже отмечалось выше, временная корреляционная функция случайного процесса 

  (3.2.12)

определяет степень линейной зависимости между значениями реализации в два различных момента времени t и . Очевидно, что с увеличением  эта зависимость должна ослабевать. В пределе, при , значения реализации становятся независимыми. Если постоянная составляющая для процесса равна нулю, то, очевидно, . В общем случае, когда случайный процесс содержит постоянную составляющую, т.е.

  (3.2.13)

корреляционная функция будет равна

   (3.2.14)

так как

Таким образом, значение корреляционной функция при  стремится к мощности постоянной составляющей случайного процесса.

 Из определения (3.2.12) с учетом (3.2.4) следует, что

  (3.2.15)

т. е. корреляционная функция при  равна полной мощности случайного процесса.

 С учетом (3.2.14) и (3.2.15) дисперсия случайного процесса как мощность его переменной составляющей будет равна

  (3.2.16)

Если для случайного процесса среднее значение равно нулю, то .

  Так как для стационарных процессов функции распределения не зависят от начала отсчета времени, то для них корреляционная функция будет являться четной функцией, т. е.

  (3.2.17)

Более того, это свойство корреляционной функции, как будет показано ниже, справедливо и для детерминированных сигналов.

  И, наконец, последнее свойство корреляционной функции состоит в том, что она всегда максимальна при , т. е.

  (3.2.18)

Это вытекает из следующего равенства:

   (3.2.19)

 Типичная корреляционная функция стационарного случайного процесса показана на рис. 3.8. Отметим, что асимптотическое стремление  к величине   при  может иметь не только монотонный, но и колебательный характер.


Часто вместо корреляционной функции рассматривают безразмерную функцию

  (3.2.20)

которую называют нормированной корреляционной функцией или просто коэффициентом корреляции. Коэффициент корреляции, как и корреляционная функция, является четной функцией, его максимальное значение равно единице при , а

  (3.2.21)

 При колебательном характере корреляционной функции коэффициент корреляции может принимать нулевое значение и при конечных τ. Однако, это означает не независимость значений процесса, а лишь только некоррелированность или линейную некоррелированность, в то время как независимость всегда означает некоррелированность значений процесса. Эти два понятия совпадают для рассматриваемых ниже нормальных случайных процессов.

 В качестве величины, определяющей временной интервал, в пределах которого еще существует статистическая связь между значениями случайного процесса, вводят понятие интервала корреляции этого процесса.

Под интервалом корреляции понимают такое значение , что при  значения случайного процесса  и  можно считать практически некоррелированными в том смысле, что абсолютная величина коэффициента корреляции остается меньше какой-либо заданной величины, например,

  (3.2.22)

Иногда интервал корреляции  определяют как ширину основания прямоугольника, площадь которого равна площади под кривой модуля коэффициента корреляции или корреляционной функции (рис. 3.9):

  (3.2.23)

 В том случае, если случайный процесс  представляет собой сумму процессов:


 (3.2.25)

 

  Таким образом, корреляционная функция суммы случайных процессов равна сумме корреляционных функций суммируемых процессов плюс сумма всех взаимных корреляционных функций, которые могут быть получены из любой пары суммируемых процессов.

Для независимых случайных процессов с нулевыми средними значениями согласно (3.1.19) взаимные корреляционные функции равны нулю, и

  (3.2.26)


Заметим теперь, что из определения корреляционной функции (3.2.7) вытекает способ ее экспериментального определения с помощью коррелометра (рис. 3.10). Одна и та же реализация исследуемого процесса подается одновременно на перемножитель  и линию задержки с отводами. На вторые входы перемножителей подается та же реализация, но задержанная на различное время . Произведения  далее интегрируются, а результаты интегрирования измеряются вольтметрами. Показания вольтметров определяют значения функции автокорреляции в дискретных точках .

Функции распределения (интегральная или дифференциальная) достаточно полно характеризуют случайный процесс. Однако часто они оказываются довольно сложными или требуют для своего определения обработки большого числа экспериментальных данных. Кроме того, часто подробного описания процесса не требуется. Потому в этих случаях ограничиваются при описании процессов лишь некоторыми числовыми характеристиками. К ним относятся средние значения, дисперсии и корреляционные функции.

 Важнейшим классом случайных процессов, встречающихся на практике, является класс стационарных случайных процессов

 Выше была определены числовые характеристики случайных процессов как результат усреднения по множеству или ансамблю возможных реализации. Для такого определения, следовательно, необходимо располагать большим набором реализации рассматриваемого процесса. Получение ансамбля реализаций возможно лишь при наличии множества одинаковых систем, в которых воспроизведены одни и те же условия протекания случайного процесса и способы наблюдения и регистрации

В качестве первого простейшего примера определим корреляционную функцию реализации случайного процесса в виде одиночного прямоугольного импульса длительностью Т


На главную