Протоколы передачи данных Протокол с выборочным повтором Сети Петри высокоуровневый протокол управления каналом код Хэмминга Метод выборочного повтора протокол скользящего окна

Электроника

 ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

 В качестве первого простейшего примера определим корреляционную функцию реализации случайного процесса в виде одиночного прямоугольного импульса длительностью Т (рис. 3.11 а). Для процессов, имеющих конечную длительность Т, функцию корреляции в отличии от (3.2.7) определяют как

  (3.2.27)

и называют ее иногда кратковременной функцией корреляции.

 Для одиночного прямоугольного импульса имеем

   (3.2.28)

  (3.2.28)

при   и

  

при . Подставляя значения реализации в (3.2.27), для функции корреляции получим

  (3.2.29)

 (3.2.30)

  Объединяя два последних выражения, окончательно находим

  (3.2.31)


График этой функции корреляции показан на рис. 3.11.б.

 В качестве второго примера определим корреляционную функцию случайного телеграфного сигнала (рис. 3.12), который представляет собой случайную последовательность прямоугольных импульсов с длительностью Т и амплитудой, с равной вероятностью принимающей значения  и . Корреляционную функцию можно построить в этом случае путем следующих простых рассуждении. При  согласно (3.2.15) она равна мощности процесса . При  произведение  с равной вероятностью принимает значения . Поэтому интегрирование этого произведения на достаточно большом интервале времени дает результат, равный нулю, т.е.

 при .


В промежуточных точках , как это видно из рис. 3.12, в течение относительной части времени  произведение   будет равно , а в течение остального времени произведение с одинаковой вероятностью будет равно . Таким образом, корреляционная функция случайного телеграфного сигнала будет определяться тем же выражением (3.2.31), что и для одиночного прямоугольного импульса (рис. 3.11). Этого, вообще говоря, следовало ожидать, поскольку зависимость между значениями случайной последовательности импульсов с равновероятными полярностями должна существовать лишь в пределах длительности Т одного импульса.

 Определим теперь корреляционную функцию обобщенного телеграфного сигнала, одна из реализации которого показана на рис. 3.13. Обобщенный телеграфный сигнал представляет собой последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой , но со случайной длительностью. Пусть  - среднее число перемен знака в единицу времени - мало, а вероятность перемены знака на интервале  равна  и не зависит от того, как происходит перемены знака вне того интервала. В этом случае можно показать, что вероятность появления К перемен знака на интервале  будет определяться законом Пуассона:

  (3.2.32)


Корреляционную функцию этого процесса определим по совокупности реализаций

   (3.2.33)

Произведение  будет равно либо , либо  в зависимости от того, будет ли , либо . Равенство  означает, что на интервале τ произошло, четное число перемен знака, т.е. произошло одно из несовместимых событий: k=0 или k=2 или k=4 и т.д. Для вероятности четного числа перемен знака по теореме сложения вероятностей получим

  (3.2.34)

Аналогично, равенство  означает, что произошло нечетное число перемен знака, и вероятность этого будет равна 

  (3.2.35)

С учетом последних выражений дли функции корреляция получим

  (3.2.36)

Знак модуля в экспоненте поставлен потому, что функция корреляции должна быть четной.

Рассмотрим теперь детерминированный периодический процесс с периодом Т. Для такого процесса среднее по множеству реализации равно самой функции s(t), а среднее по времени равно постоянной составляющей, т.е. эти средние не совпадают. Периодическую функцию можно представить рядом Фурье

  (3.2.37)

Корреляционная функция такого сигнала согласно (3.2.12) будет равна

  (3.2.38)

где усреднение по времени с учетом периодичности функции производится только на интервале равном периоду. После преобразований с учетом ортогональности тригонометрических функций получим

  (3.2.39)

 Таким образом, автокорреляционная функция периодического процесса является периодической функцией с периодом этого процесса. Заметим, что корреляционная функция совершенно не зависит от фазовых углов гармоник исходного периодического сигнала. Из этого, например, следует, что для гармонического колебания с любой фазой корреляционная функция будет косинусоидой.


На главную