Протоколы передачи данных Протокол с выборочным повтором Сети Петри высокоуровневый протокол управления каналом код Хэмминга Метод выборочного повтора протокол скользящего окна

Электроника

 ШИРОКОПОЛОСНЫЕ И УЗКОПОЛОСНЫЕ ПРОЦЕССЫ

 Если энергетический спектр случайного процесса с непрерывным спектром сосредоточен в относительно узкой полосе частот  около некоторой фиксированной частоты , (рис. 3.17а), причем , то такой процесс называется узкополосным. Если же указанное условие не выполняется, то есть спектральная плотность средней мощности сохраняет постоянное значение до очень высоких частот (рис. 3.17 б), то случайный процесс называется широкополосным. Для узкополосных и широкополосных процессов корреляционные функции будут значительно отличаться по длительности.

 Для широкополосного процесса согласно (3.3.10) корреляционная функция будет отличаться от нуля в узкой области значений τ около начала координат.


Полезной математической идеализацией широкополосного процесса является процесс, спектральная плотность которого

 

равномерна во всей области частот. Такой процесс по аналогии с белым светом называется белым шумом. Корреляционная функция белого шума равна

 (3.3.12)

т.е. представляет собой дельта-функцию в начале координат. Коэффициент корреляции для белого шума равен

  (3.3.13)

Следовательно, для белого шума значения процесса в любые сколь угодно близкие моменты времени не коррелированы. Поэтому белый шум иногда называют абсолютно случайным процессом.

Белый шум является математической идеализацией. В реальных процессах достаточно близкие значения практически зависимы. Кроме того, реальные процессы имеют конечную мощность, а для белого шума мощность процесса бесконечна. Однако на практике часто приходится рассматривать прохождение широкополосного процесса через различные радиотехнические устройства, полоса пропускания которых ограничена и много уже ширины энергетического спектра входного процесса. В этом случае замена реального процесса идеальным белым шумом не вносит существенных погрешностей, значительно упрощая при этом математические выкладки.

 Отметим еще, что понятие "белый шум'' относится только к спектральной картине случайного процесса и не затрагивает вопроса о законах распределения. Как уже отмечалось выше, случайные процессы могут иметь одинаковые корреляционные функции и, следовательно, энергетические спектры, но различные законы распределения. Так и белые шумы с одинаковыми энергетическими спектрами могут иметь различные законы распределения.

 Определим теперь корреляционную функцию узкополосного случайного процесса со спектральной плотностью  (рис. 3.18)

  (3.3.14)

Вводя вместо  новую переменную интегрирования , равную величине расстройки, вместо (3.3.14), получим


 (3.3.15)

Так как для узкополосных процессов ширина спектра мала по сравнению с , а функция  расположена в области низких частот, то верхние пределы интегрирования можно распространить до бесконечности (здесь рассматривается только положительная ветвь  исходного процесса). Вводя обозначение 

  (3.3.17)

для корреляционной функции узкополосного процесса окончательно находим

  (3.3.18)

Так как энергетический спектр  сосредоточен в узкой полосе частот около , а спектр  расположен в низкочастотной области, то функции  и   будут медленно меняющимися функциями по сравнению с  и .

Если дополнительно предположить, что энергетический спектр узкополосного процесса симметричен относительно центральной частоты , то энергетический спектр   будет симметричен относительно начала координат. В этом случае функция , так как для нее подынтегральное выражение в (3.3.17) является нечетной функцией, и

  (3.3.19)

Следовательно, корреляционная функция узкополосного случайного процесса с симметричным относительно средней частоты  энергетическим спектром равна умноженной на  корреляционной функции , которая соответствует низкочастотному процессу со спектром , полученному из исходного процесса смешением спектра на величину  в область низких частот. Сказанное иллюстрируется рис. 3.18 6.

Интервал корреляции узкополосного процесса согласно (3.3.11) будет равен .

  В качестве примера определим корреляционную функцию реализации процесса в виде отрезка гармонического колебания длительностью Т (рис. 3.19 а):

  (3.3.20)

Амплитудно-фазовый спектр такого сигнала определяется выражением (2.2.21). Его энергетический спектр согласно определению (3.3.2) будет равен 

  (3.3.21)

Корреляционная функция отрезка гармонического колебания будет равна


 (3.3.22)

  Определение корреляционной функции согласно (3.3.22) требует использования теории вычетов и вызывает затруднения. Поэтому в рассматриваемом случае для вычисления корреляционной функции воспользуемся выражением

  (3.3.23)

 Вычисление этого интеграла аналогично вычислению интеграла (3.2.27). В данном случае имеем

  (3.3.24)

После тригонометрических преобразований и интегрирования получим

 

График полученной корреляционной функции показан на рис.3.19 6. Замечаем, что первый из сомножителей представляет собой корреляционную функцию одиночного прямоугольного импульса (3.2.31), т.е. огибающей радиоимпульса, спектр которой по форме совпадает со спектром радиоимпульса, но сдвинут в область низких частот.


На главную