Протоколы передачи данных Протокол с выборочным повтором Сети Петри высокоуровневый протокол управления каналом код Хэмминга Метод выборочного повтора протокол скользящего окна

Электроника

ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ.

Рассмотрим линейную инерционную систему с известной передаточной функцией   или импульсной реакцией . Пусть на вход такой системы поступает стационарный случайный процесс с заданными характеристиками: плотностью вероятности , корреляционной функцией  или энергетическим спектром . Определим характеристики процесса  на выходе системы: ,  и .

Подпись:


Рис. 3.20

 Наиболее просто можно найти энергетический спектр процесса на выходе системы. Действительно, отдельные реализации процесса на входе являются детерминированными функциями, и к ним применим аппарат Фурье. Пусть  - усеченная реализация длительности Т случайного процесса на входе, а

  (3.4.1)

- ее спектральная плотность. Спектральная плотность реализации  на выходе линейной системы будет равна

  (3.4.2)

Энергетический спектр процесса на выходе согласно (3.3.3) будет определиться выражением 

  (3.4.3)

т.е. будет равен энергетическому спектру процесса на входе, умноженному на квадрат амплитудно-частотной характеристики системы, и не будет зависеть от фазочастотной характеристики.

 Корреляционная функция процесса на выходе линейной системы может быть определена как преобразование Фурье от энергетического спектра:

 (3.4.4)

Следовательно, при воздействии случайного стационарного процесса на линейную систему на выходе получается также стационарный случайный процесс с энергетическим спектром и корреляционной функцией, определяемыми выражениями (3.4.3) и (3.4.4). Мощность процесса на выходе системы будет равна

  (3.4.5)

 В качестве первого примера рассмотрим прохождение белого шума со спектральной плотностью  через идеальный фильтр нижних частот, для которого

  (3.4.6)

Согласно (3.4.3) энергетический спектр процесса на выходе будет иметь равномерную в полосе частот  спектральную плотность , а корреляционная функция будет определяться выражением

  (3.4.7)

Мощность случайного процесса на выходе идеального фильтра нижних частот будет равна

  (3.4.8)

Подпись:  Подпись:

В качестве второго примера рассмотрим прохождение белого шума через идеальный полосовой фильтр, амплитудно-частотная характеристика которого для положительных частот (рис. 3.21)

Подпись:

определяется выражением:

  (3.4.9)

В этом случае

  (3.4.10)

Корреляционную функцию определим с помощью косинус-преобразования Фурье:

  (3.4.11)

где ,


График корреляционной функции показан на рис. 3.22.

Рассмотренные примеры показательны с той точки зрения, что они подтверждают установленную в § 3.3 связь между корреляционными функциями низкочастотного и узкополосного высокочастотного процессов с одинаковой формой энергетического спектра. Мощность процесса на выходе идеального полосового фильтра будет равна

  (3.4.12)

 Закон распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной инерционной системы отличается от закона распределения на входе, и определение его является весьма сложной задачей, за исключением двух частных случаев, на которых здесь остановимся.

 Если случайный процесс воздействует на узкополосную линейную систему, полоса пропускания которой много меньше ширины спектра, то на выходе системы имеет место явление нормализации закона распределения. Это явление заключается в том, что закон распределения на выходе узкополосной системы стремится к нормальному независимо от того, какое распределение имеет широкополосный случайный процесс на входе. Физически это можно объяснить следующим образом. Процесс на выходе инерционной системы в некоторый момент времени представляет собой суперпозицию отдельных откликов системы на хаотические воздействия входного процесса в различные моменты времени. Чем уже полоса пропускания системы и шире спектр входного процесса, тем большим числом элементарных откликов образуется выходной процесс. Согласно же центральной предельной теореме теории вероятностей закон распределения процесса, представляющего собой сумму большого числа элементарных откликов, будет стремиться к нормальному.

 Из приведенных рассуждений следует второй частный, но весьма важный случай. Если процесс на входе линейной системы имеет нормальное (гауссово) распределение, то он остается нормальным и на выходе системы. В этом случае изменяются только корреляционная функция и энергетический спектр процесса.


На главную