НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Рассмотрим теперь задачу о прохождении случайного процесса через нелинейную систему. В общем
случае эта задача весьма сложная, но она значительно упрощается, когда нелинейная
система является безынерционной. В безынерционных нелинейных системах значения
выходного процесса 
в данный момент времени определяются значениями
входного процесса в тот же самый момент времени. Для нелинейных безынерционных
преобразований более простой задачей является определение функций распределения
на выходе в гораздо более сложной – определение корреляционной функции или энергетического
спектра.
Как отмечалось выше, n - мерная функция распределения случайного процесса по сути дела является функцией распределения n случайных величин, представляющих собой значения случайного процесса в n различных моментов времени, Определение законов распределения функционально преобразованных случайных величин является сравнительно простой задачей.
Рассмотрим простейший пример одномерной
случайной величины. Пусть 
- плотность
вероятности случайной величины ζ, которая подвергается нелинейному преобразованию
. Определим плотность вероятности 
случайной величины η. Предположим,
что функция такова, что обратная ей функция 
– однозначна.
Если случайная
величина ζ находится в достаточно малом интервале 
,
то вследствие однозначной функциональной зависимости между ζ и η случайная
величина η обязательно будет находиться в интервале 
, где 
, вероятности этих событий должны быть одинаковыми,
т.е.
(3.4.13)
откуда находим
(3.4.14)
Производная в последнем выражении берется
по абсолютной величине, так как плотность вероятности не может быть отрицательной.
Если обратная функция 
неоднозначная,
т.е. имеет несколько ветвей 
, то для плотности вероятности с использованием теоремы
сложения вероятностей можно получить
(3.4.15)
Отметим, что для определения числовых характеристик нелинейно-преобразованных случайных процессов нет необходимости определять их плотности вероятностей. Действительно, в общем случае для начального момента k-го порядка имеем
(3.4.16)
Но согласно (3.4.13) 
и . Поэтому последнее выражение можно переписать
(3.4.17)
Полученные выражения (3.4.14) и (3.4.15)
легко распространить на случай нескольких величин. Приведем здесь лишь окончательный
результат для двумерного случая. Если случайные величины 
и 
имеют совместную плотность вероятностей 
, то для случайных величин
(3.4.18)
при однозначности обратных функций
совместная плотность вероятностей будет определяться выражением
(3.4.19)
где величина
(3.4.20)
называется якобианом преобразования и
представляет собой отношение элементарных площадей 
при переходе от одной системы координат к другой. Если
, то справедливо равенство
(3.4.21)
где
