НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Рассмотрим теперь задачу о прохождении случайного процесса через нелинейную систему. В общем случае эта задача весьма сложная, но она значительно упрощается, когда нелинейная система является безынерционной. В безынерционных нелинейных системах значения выходного процесса
в данный момент времени определяются значениями входного процесса
в тот же самый момент времени. Для нелинейных безынерционных преобразований более простой задачей является определение функций распределения на выходе в гораздо более сложной – определение корреляционной функции или энергетического спектра.
Как отмечалось выше, n - мерная функция распределения случайного процесса по сути дела является функцией распределения n случайных величин, представляющих собой значения случайного процесса в n различных моментов времени, Определение законов распределения функционально преобразованных случайных величин является сравнительно простой задачей.
Рассмотрим простейший пример одномерной случайной величины. Пусть
- плотность вероятности случайной величины ζ, которая подвергается нелинейному преобразованию
. Определим плотность вероятности
случайной величины η. Предположим, что функция
такова, что обратная ей функция
– однозначна.
Если случайная величина ζ находится в достаточно малом интервале
, то вследствие однозначной функциональной зависимости между ζ и η случайная величина η обязательно будет находиться в интервале
, где
, вероятности этих событий должны быть одинаковыми, т.е.
(3.4.13)
откуда находим
(3.4.14)
Производная в последнем выражении берется по абсолютной величине, так как плотность вероятности не может быть отрицательной. Если обратная функция
неоднозначная, т.е. имеет несколько ветвей
, то для плотности вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей можно получить
(3.4.15)
Отметим, что для определения числовых характеристик нелинейно-преобразованных случайных процессов нет необходимости определять их плотности вероятностей. Действительно, в общем случае для начального момента k-го порядка имеем
(3.4.16)
Но согласно (3.4.13)
и
. Поэтому последнее выражение можно переписать
(3.4.17)
Полученные выражения (3.4.14) и (3.4.15) легко распространить на случай нескольких величин. Приведем здесь лишь окончательный результат для двумерного случая. Если случайные величины
и
имеют совместную плотность вероятностей
, то для случайных величин
(3.4.18)
при однозначности обратных функций
![]()
совместная плотность вероятностей будет определяться выражением
(3.4.19)
где величина
(3.4.20)
называется якобианом преобразования и представляет собой отношение элементарных площадей
при переходе от одной системы координат к другой. Если
, то справедливо равенство
(3.4.21)
где