Протоколы передачи данных Протокол с выборочным повтором Сети Петри высокоуровневый протокол управления каналом код Хэмминга Метод выборочного повтора протокол скользящего окна

Электроника

ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

  В качестве первого примера рассмотрим квадратичное преобразование случайного процесса

 

которое осуществляется, например, безынерционным квадратичным детектором.

 Обратные функции при квадратичном преобразовании имеют вид 

 

 

где для краткости аргумент времени опущен. При этом

  и  (3.4.22)

 Используя (3.4.15), для одномерной плотности вероятности случайного процесса  находим

  (3.4.23)

 Если случайный процесс на входе имеет нормальное распределение вероятностей 

  (3.4.24)

то, используя (3.4.23) , для процесса на выходе квадратичного преобразователя получим

  (3.4.25)

 Для нормального случайного процесса с нулевым средним значением  выражение (3.4.25) упрощается:

  (3.4.26)

Графики полученной плотности вероятности для различных значений  показаны на рис 3.23.


Определим теперь закон распределения вероятностей гармонического колебания.

  (3.4.27)

полная фаза т которого является случайней и имеет равномерное распределение вероятностей в интервале :

  (3.4.28)


Обратная функция в пределах от 0 до 2π в этом случае двузначна и при одинаковом y имеет два следующих значения (рис.3.24 а):

 

   (3.4.29)

Производные от обратной функции определяются выражением

 (3.4.30)

Подставляя (3.4.28) и (3.4.30) в (3.4.15), для плотности вероятности гармонического колебания со случайной фазой получим

  (3.4.31)

График полученной плотности вероятности показан на рис.3.24 б.

  Рассмотрим еще следующий специальный вид двумерного преобразования случайных процессов, который представляет значительный интерес для радиотехнических приложений:

 

  (3.4.32)


Геометрически это преобразование означает переход от случайных декартовых координат к случайным полярным координатам (рис.3.25).


Рис. 3.25

При таком преобразовании , а значения случайной величины φ заключены в пределах от 0 до 2π.

Обратные функции

  и  (3.4.33)

в этом случае однозначны. Якобиан преобразования согласно (3.4.20) будет равен

  (3.4.34)

Совместная плотность вероятностей случайных величин  и  согласно (3.4.19) будет определяться выражением

  (3.4.35)

Одномерные функции распределения каждой из случайных величин ρ и φ можно получить, согласно правилам теории вероятностей, путем интегрирования двумерной функции распределения по ρ и φ соответственно:

  (3.4.36)

  (3.4.37)

 Используем полученные выражения для случая, когда значения случайного процесса  и  независимы и распределены по нормальному закону с параметрами () и () соответственно. Совместная плотность вероятностей в этом случае записывается в виде

 (3.4.38)

Для случайных величин ρ и φ, используя (3.4.28), получим

  (3.4.39)

Подставляя последнее выражение в (3.4.3 б) и производя интегрирование, для плотности вероятности амплитуды вектора (рис.3.20) получим

  (3.4.40)

где , а  - функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента.

Если случайные величины  и  имеют нулевые средние значения , то плотность вероятности модуля вектора будет определяться выражением

  (3.4.41)


Выражения (3.4.40) и (3.4.41) представляют собой плотности вероятностей для так называемых обобщенного и простого законов Релея соответственно. Графики плотности вероятности закона Релея для различных значений  показаны на рис.3.26. 

Аналогичным образом, используя (3.4.37), можно определить плотность вероятности для фазы случайного вектора φ. Однако, в общем случае выражение получается громоздким. Если же случайные величины  и  имеют нулевые средние значения , то плотность вероятности фазы будет определяться выражением

  (3.4.42)

 Следовательно, радиус-вектор, составляющие которого распределены нормально с нулевыми средними значениями, имеет простое релеевское распределение модуля и равномерное в интервале  распределение фазы.


На главную