Протоколы передачи данных Протокол с выборочным повтором Сети Петри высокоуровневый протокол управления каналом код Хэмминга Метод выборочного повтора протокол скользящего окна

Электроника

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Рассмотренные ортогональные разложения детерминированных сигналов можно использовать также для отдельных реализации случайных процессов. По отношению к случайному процессу в целом такие разложения имеют ту особенность, что коэффициенты разложения меняются от реализации к реализации. Следовательно, случайный процесс на интервале  можно разложить в ряд по детерминированным функциям

  (3.5.1)

где  - среднее значение случайного процесса, а  – коэффициенты разложения, являющиеся случайными величинами. Для случайных процессов сходимость ряда (3.5.1) необходимо понимать в среднеквадратичном смысле, т.е.

 (3.5.2)

  При выборе функций разложения для случайных процессов необходимо учитывать то, что в общем случае коэффициенты разложения  оказываются коррелированными. При теоретических исследованиях проще оперировать с некоррелированными коэффициентами. В этом случае задача отыскания функций  усложняется и сводится к решению интегрального уравнения 

  (3.5.3)

связывающего функции разложения с корреляционной функцией случайного процесса . Представление случайного процесса в виде ряда (3.5.1) с некоррелированными и имеющими нулевые средние значения коэффициентами называется каноническим разложением.

  Можно показать, что для белого шума любая система ортогональных функций обеспечат некоррелированность коэффициентов разложения.

 В соответствии с (3.5.1) случайный процесс без постоянной составляющей можно представить в виде ряда Фурье

   (3.5.4)

коэффициенты которого будут случайными, в общем случае коррелированными величинами. Для некоррелированности коэффициентов разложения в ряде Фурье необходимо выполнение одного из условий:

1) случайный процесс периодичен с периодом Т,

2) интервал разложения достаточно большой ;

3) случайный процесс представляет собой белый шум. Возводя обе части равенства (3.5.4) в квадрат и интегрируя на интервале 0-Т, с учетом ортогональности тригонометрических функций получим выражение

   (3.5.5)

аналогичное равенству Парсеваля, в котором обе части являются случайными величинами.

Если случайный процесс не содержит частот выше , то он может быть представлен в виде ряда Котельникова

  (3.5.6)

где

  Выясним смысл теоремы Котельникова применительно к случайным процессам. Для низкочастотных процессов, рассматриваемых здесь, корреляционная функция обычно имеет слабо выраженный колебательный характер и в основном расположена выше оси абсцисс. В этом случае, опуская в выражения (3.2.23) знак модуля и используя (3.3.8), для интервала корреляции случайного процесса получаем приближенное выражение

  (3.5.7)

Если случайный процесс имеет равномерную спектральную плотность мощности   в полосе частот , то согласно (3.3.6)  и .

Следовательно, интервал времени  есть не что иное, как интервал корреляции, а отсчеты представляют собой ближайшие некоррелированные значения случайного процесса. При использовании ряда Котельникова для процесса длительностью Т получим выражение, аналогичное (3.5.5):

  (3.5.8)

где


На главную