Тройные интегралы примеры решений

Колебания
Свободные незатухающие
колебания
Затухание свободных
колебаний
Вынужденные колебания
Сложение колебаний
Электpостатика
Электpический заpяд
Закон Кулона
Потенциал
Пpоводники в
электpостатическом поле
Диэлектpики в электpическом
поле
Поток вектоpа напpяженности
Теоpема Гаусса
Электpическая емкость
Основные законы постоянного
тока
Энеpгия электpического поля
Машиностроительное черчение
Физика атомного ядра
Электротехнические материалы
Электромагнетизм
Электромагнитное
взаимодействие
Квантооптические явления
Оптика
Волновая оптика
Электромагнитные волн
Принцип суперпозиции волн
Принцип Гюгенса
Интерференция света
Дифракция света
Опыт Майкельсона.
Теория аберрации Стокса
Интерференция
поляризованных лучей.
Физические основы механики
Молекулярная физика
и термодинамика
Молекулярно-кинетическая
теория
Математика Задачи
Комплексные числа
Дифференциальное и
интегральное исчисление
Интегралы
Основные задачи на прямую
и плоскость
Векторная алгебра
Исследование функции
и построение графика
Производная функции
Свойства комплексных чисел
Локальная сеть

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Замена переменных в двойных интегралах Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.

Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю

Производная сложной функции "Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.

Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат

Двойные интегралы в прямоугольной области Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник .

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми .

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями .

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями.

Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Вычислить объем единичного шара

Вычислить площадь сферы радиуса a.

Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах.

Найти длину кривой при условии .

Вычислить длину астроиды .

Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом виде вектором в интервале

Вычислить длину параболы в интервале .

Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением

Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой , и прямыми x = 0, x = , y = 0.

Геометрические приложения поверхностных интегралов С помощью поверхностных интегралов вычисляются

    • Площадь поверхности;
    • Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.

Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.

Вычислить площадь поверхности тора, заданного уравнением в цилиндрических координатах.

Вычислить объем эллипсоида .

Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением .

Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс

С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте

Вычислить интеграл с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность

Найти площадь области R, ограниченной астроидой .

Несобственные интегралы Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

  • Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
  • Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Вычислить интеграл .

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Вычислить периметр единичной окружности.

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Вычислить .

Вычислить .

Интегральный признак Коши

Определить, сходится или расходится ряд .

Определить, сходится или расходится ряд .

Интегрирование по частям Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой Проинтегрировав обе части этого выражения, получим или, переставляя члены,

Вычислить интеграл .

Вывести формулу редукции (понижения степени) для .

Интегрирование гиперболических функций

Вычислить .

Найти интеграл .

Вычислить интеграл .

Решение задач по физике, электротехнике, математике