Тройные интегралы примеры решений

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Замена переменных в двойных интегралах Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.

Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю

Производная сложной функции "Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.

Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат

Двойные интегралы в прямоугольной области Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник .

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми .

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями .

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями.

Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Вычислить объем единичного шара

Вычислить площадь сферы радиуса a.

Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах.

Найти длину кривой при условии .

Вычислить длину астроиды .

Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом виде вектором в интервале

Вычислить длину параболы в интервале .

Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением

Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой , и прямыми x = 0, x = , y = 0.

Геометрические приложения поверхностных интегралов С помощью поверхностных интегралов вычисляются

    • Площадь поверхности;
    • Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.

Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.

Вычислить площадь поверхности тора, заданного уравнением в цилиндрических координатах.

Вычислить объем эллипсоида .

Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением .

Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс

С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте

Вычислить интеграл с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность

Найти площадь области R, ограниченной астроидой .

Несобственные интегралы Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

  • Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
  • Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Вычислить интеграл .

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Вычислить периметр единичной окружности.

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Вычислить .

Вычислить .

Интегральный признак Коши

Определить, сходится или расходится ряд .

Определить, сходится или расходится ряд .

Интегрирование по частям Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой Проинтегрировав обе части этого выражения, получим или, переставляя члены,

Вычислить интеграл .

Вывести формулу редукции (понижения степени) для .

Интегрирование гиперболических функций

Вычислить .

Найти интеграл .

Вычислить интеграл .

Решение задач по физике, электротехнике, математике