Электротехника Методические указания по выполнению контрольной работы

Колебания
Свободные незатухающие
колебания
Затухание свободных
колебаний
Вынужденные колебания
Сложение колебаний
Электpостатика
Электpический заpяд
Закон Кулона
Потенциал
Пpоводники в
электpостатическом поле
Диэлектpики в электpическом
поле
Поток вектоpа напpяженности
Теоpема Гаусса
Электpическая емкость
Основные законы постоянного
тока
Энеpгия электpического поля
Машиностроительное черчение
Физика атомного ядра
Электротехнические материалы
Электромагнетизм
Электромагнитное
взаимодействие
Квантооптические явления
Оптика
Волновая оптика
Электромагнитные волн
Принцип суперпозиции волн
Принцип Гюгенса
Интерференция света
Дифракция света
Опыт Майкельсона.
Теория аберрации Стокса
Интерференция
поляризованных лучей.
Физические основы механики
Молекулярная физика
и термодинамика
Молекулярно-кинетическая
теория
Математика Задачи
Комплексные числа
Дифференциальное и
интегральное исчисление
Интегралы
Основные задачи на прямую
и плоскость
Векторная алгебра
Исследование функции
и построение графика
Производная функции
Свойства комплексных чисел
Локальная сеть

Определение спектральной плотности  и корреляционной функции выходного напряжения ПФ.

 Определим спектральную плотность  и корреляционную функцию  выходного напряжения заданного ПФ.

Будем считать, что цепь – в установившемся режиме, тогда возможно применение спектрального метода для анализа прохождения заданного СП через заданную линейную цепь.

Спектральная плотность мощности СП на выходе линейной цепи для стационарного СП на ее входе:

.

Так как на входе цепи – белый шум со спектральной плотностью , то спектральная плотность  равна:

  , (7)

где  - квадрат модуля коэффициента передачи ПФ.

Из формулы (7) получаем:

, (8)

где: .

График спектральной плотности мощности на выходе ПФ приведен на рисунке 10.

Корреляционная функция  выходного напряжения ПФ определяется по теореме Винера-Хинчина:

  . (9)

Для нашего случая формула (9) будет выглядеть так:

.  (10)

Для вычисления интеграла в (10) воспользуемся теорией вычетов и будем считать, что -комплексная переменная. В силу четности подынтегральной функции в (10) контур интегрирования может быть образован всей вещественной осью  и другой бесконечно большого радиуса, замкнутого в верхней полуплоскости.

Тогда:

,  (11)

 где обозначена сумма вычетов функции  во всех полюсах, находящихся в верхней полуплоскости.

Определим полюса подынтегральной функции . Для этого необходимо решить биквадратное уравнение:

Введем обозначение: , тогда уравнение примет вид:

.

Отсюда:

и искомые полюса будут равны:

Расположение полюсов и контуров интегрирования на комплексной плоскости показано на рисунке 11.

Рис 11. Расположение полюсов и контуров интегрирования на комплексной плоскости.

Из рисунка 11 видно, что в верхней полуплоскости находятся первый и четвертый полюса.

Для нахождения значения вычетов в первом и четвертом полюсах проведем преобразование подынтегральной функции .

Пусть . Тогда имеем:

.

Получили следующую аналитическую формулу для :

.

Тогда выражение (10) примет вид:

.  (12) 

В выражении (12) структура и решение первого интеграла приведено в [1, стр.256] и в конечном виде будет выглядеть так:

где  - дельта-функция. Однако в корреляционной функции  ее мы не учитываем, так как невозможно реализовать операционный усилитель с бесконечной полосой пропускания. Поэтому для нахождения корреляционной функции  будем находить второй интеграл в (12).

Найдем значения вычетов:

Здесь в и - знаменатель – это производная знаменателя .

Подставив значения частот, получим:

.

Тогда:

.

Корреляционная функция:

  (13)

Подставив числовые данные в (13) , получим:

График корреляционной функции   представлен на рисунке 12. Ввиду того, что графики функций  и  симметричны, то графики представим только в положительной полуплоскости.

Корреляционная функция  при  получается путем замены в (13) на . Это вытекает из свойства четности корреляционной функции стационарных случайных процессов, однако результат можно подтвердить прямым расчетом, если замкнуть контур интегрирования в нижней полуплоскости комплексной частоты . В этом случае интеграл будет равен сумме вычетов относительно полюсов  и .

На главную