| Черчение | |||
| Инженерная графика | |||
| Архитектура | |||
Схема исследования графика функции
Приведем схему исследования поведения функции и построения ее графика.
1. Найти область определения функции.
2. Определить возможный тип симметрии функции: четность или нечетность функции. Функция f(x) называется четной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно оси Оу:
Функция f(x) называется нечетной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно начала координат O (0, 0):
При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем отобразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае (5.10) (рис. 5.8,а) или с центральной симметрией в случае (5.11) (рис. 5.8,6).
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат Ох и Оу, т.е. решить соответственно уравнения у = f(0) и f(x) = 0.
4. Найти асимптоты.
5. Найти точки возможного экстремума.
6. Найти критические точки.
7. Исследовать знаки первой и второй производных, определить участки монотонности функции, направление выпуклости графика, точки экстремума и перегиба.
8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок [а, b], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами.
9. Построить график функции с учетом проведенного исследования.
Пример 7. Исследовать и построить график функции
Решение. Действуем по приведенной выше схеме.
1. Область определения функции: х ≠ 0 или х
(-
, 0)
(0,
).
2. Функция (5.12) является нечетной, так как f(-x) = - f(x).
3. Уравнение f(x) = 0 дает корни х = ±1 (точки пересечения с осью Ох). Пересечения с осью Оу нет в силу п.1.
4. Имеется вертикальная асимптота — ось Оу, так как предел f(x) при х
0 бесконечен: f(x)
+
при х
0-, f(x)
-
при х
0+.
Определяем наклонную асимптоту:
Итак, уравнение наклонной асимптоты: у = х.
5. f'(x) =
, т.е. производная нигде не равна нулю и точек возможного экстремума нет. В области определения везде f'(x) положительна.
6. f"(x) = —2/х3 — критических точек нет.
7. Функция (5.12) монотонно возрастает на всей области своего определения, так как ее производная всюду положительна. В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (f"(x) > 0), в правой полуплоскости выпуклость направлена вверх (f"(x) < 0).
8. Наибольшего и наименьшего значений функции не существует, поскольку область ее значений неограничена.
9. График функции (5.12) приведен на рис. 5.9.
Ограниченные и неограниченные последовательности.
Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что
xn £ M.
Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что
xn ³ M
Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:
Это записывается: lim xn = a.
В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n®¥.
Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.
Степенные ряды.
Понятие степенного ряда.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример. Исследовать на сходимость ряд ![]()
Применяем признак Даламбера:
.
Получаем, что
этот ряд сходится при
и расходится при
.
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При х = 1:
ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница).
При
х = -1:
ряд расходится (гармонический ряд).