Математический анализ Понятие дифференциала функции

Высшая математика в экономике

Применение в экономике

Предельные показатели в микроэкономике

Приведем примеры двух предельных показателей в микроэкономике.

1. Первый из них связан с зависимостью себестоимости С произведенной продукции от ее объема Q: С = f(Q). Так называемая предельная себестоимость характеризует себестоимость ΔC прироста продукции ΔQ:

В предположении о непрерывной зависимости ΔС от ΔQ естественно напрашивается замена разностного отношения в (5.13) его пределом:

Обычно в приложениях с использованием аппарата математики под предельной себестоимостью понимают именно величину (5.13а).

Например, пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой

Определим средние и предельные издержки при объеме продукции Q = 15 ден. ед.

А) Функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле  = C/Q, или в нашем случае

откуда (15) = 40 - 0,03 ∙ 225 = 33,25 ден. ед.

Б) Предельные издержки определяются, согласно (5.13а), по формуле

откуда при Q = 15 получаем С' (15) = 19,75 ден. ед.

Иными словами, при средних издержках на производство единицы продукции в 33,25 ден. ед. дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции составят 19,75 ден. ед. и не превысят средних издержек.

2. В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса. Пусть D = f(Р) — функция спроса от цены товара Р (см. п. 3.1). Тогда под эластичностью спроса понимается процентное изменение спроса при изменении цены товара на один процент:

Как и в предыдущем случае, в случае непрерывной зависимости ΔD от ΔQ удобно перейти к пределу при ΔР  0:

Аналогичное понятие можно ввести и для функции предложения S(P). Напомним, что функция D(P) убывает, а функция S(P) возрастает с ростом цены Р.

Укажем некоторые свойства эластичности. Как следует из формулы (5.14а), ее можно выразить так:

Из равенства (5.14 б) следует, что E(D) обладает свойствами логарифма, а значит,

Заметим, что поскольку функция D(P) убывающая, то D'(P) < 0, а тогда согласно формуле (5.14а) и E(D) < 0. Напротив, поскольку функция предложения возрастающая, то соответствующая эластичность E(S) > 0.

Различают три вида спроса в зависимости от величины |E(D)|:

а) если |E(D)| > 1 (E(D) < -1), то спрос считается эластичным;

б) если |E(D)| = 1 (E(D) = -1), то спрос нейтрален;

в) если |E(D)| < 1 (E(D) > -1), то спрос неэластичный.

Рассмотрим два примера из этой области.

Пример 1. Пусть функция спроса описывается формулой

где D0 и k — известные величины. Найти, при каких значениях цены Р спрос будет эластичным.

Решение. Согласно формуле (5.14а) составляем выражение для E(D):

Для того чтобы спрос был эластичным (случай а), необходимо, чтобы выполнялось неравенство

Пример 2. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса.

Решение. Выручка I равна произведению цены Р на товар на величину спроса D:

Найдем производную этой функции:

Теперь проанализируем все варианты эластичности спроса, приведенные выше, с учетом формулы (5.14а).

1) E(D) < -1; тогда, подставляя (5.14а) в это неравенство, получаем, что правая часть уравнения (5.15) отрицательна. Таким образом, при эластичном спросе повышение цены Р ведет к снижению выручки. Напротив, снижение цены на товар увеличивает выручку.

2) E(D) = -1. Из (5.14а) следует, что правая часть (5.15) равна нулю, т.е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.

3) E(D) > -1. Тогда I'(P) > 0, т.е. при неэластичном спросе повышение цены Р на товар приводит к росту выручки.

Понятие эластичности распространяется и на другие области экономики. Рассмотрим один характерный пример.

Пример 3. Пусть зависимость между себестоимостью продукции С и объемом Q ее производства выражается формулой

Требуется определить эластичность себестоимости при выпуске продукции Q = 30 ден. ед.

Решение. По формуле (5.14а) получаем

откуда при Q = 30 искомая эластичность составит около —0,32, т.е. при данном объеме выпуска продукции его увеличение на 1% приведет к снижению себестоимости примерно на 0,32%.

Пример. Найти предел.

  Пример. Найти предел.

  Пример. Найти предел.

Максимизация прибыли Пусть Q — количество реализованного товара, R(Q) — функция дохода; C(Q) — функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций зависит в первую очередь от способа производства, организации инфраструктуры и т.п.

Степенные ряды.

Понятие степенного ряда.

 На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.

 Определение. Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

  Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1:  ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница).

При х = -1:  ряд расходится (гармонический ряд).


Основные правила интегрирования