Математический анализ Понятие дифференциала функции

Высшая математика в экономике

Неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл

Понятие первообразной функции

Предыдущие главы были посвящены одной из основных задач дифференциального исчисления — нахождению производной заданной функции. Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных науках приводит к другой задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого х  Х функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F'(x) = f(x).

Приведем примеры.

Пример 1. Функция F(x) = sin x является первообразной для функции f(x) = cos x на бесконечном промежутке (-, +), так как при любых х выполнено равенство (sin x)' = cos х.

Пример 2. Функция F(x) = ln x — первообразная для функции f(x) = 1/x на промежутке (0, +), так как в каждой точке этого интервала выполнено равенство (ln x)' =1/x.

Заметим, что задача отыскания по заданной функции f(x) еe первообразной неоднозначна; если F(x) — первообразная, то и функции F(x) + С, где С - произвольное постоянное число, также первообразная для функции f(x), так как [F(x) + С]' = f(x).

Неопределенный интеграл

Определение 2. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом

В этом обозначении  называется знаком интеграла (это стилизованная латинская буква S, означающая суммирование), f(x) — подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, а переменная х — переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной по ее производной или неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Рассмотрим примеры.

Пример 3. = x2 + С; проверка: (x2 + С)' = 2х.

Пример 4.  = - cos х + С; проверка: (-cos х + С)' = sin x.

Пример 5. = е3x + С; проверка: (+ C)' = е3x.

6.2. Основные свойства неопределенного интеграла

Прежде всего укажем свойства, которые непосредственно вытекают из определения неопределенного интеграла.

Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла.

Заметим, что последнее свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых в подынтегральной функции.

6.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Ранее мы получили таблицу основных производных элементарных функций. Приводимая ниже таблица основных неопределенных интегралов представляет собой вычислительный аппарат интегрального исчисления. Часть формул таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием.

Интегралы этой таблицы принято называть табличными.

Как было установлено в п. 4.4, операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций. С операцией интегрирования дело обстоит иначе: интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Укажем некоторые из них.

Каждый из этих интегралов есть функция, которая не является элементарной, хотя подынтегральные функции в этих интегралах являются элементарными. Они играют большую роль в прикладных науках; так, интеграл 1 является одним из основных в теории вероятностей и статистике.

Как правило, интегралы, с которыми приходится иметь дело в различных приложениях, не выражаются элементарными функциями (или, как принято говорить, являются "неберущимися"). Тем не менее существуют достаточно хорошо разработанный аппарат приближенных формул с использованием элементарных функций и методы приближенных расчетов, позволяющие с любой степенью точности оценивать и вычислять "неберущиеся" интегралы.

6.4. Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с использованием основных свойств неопределенных интегралов и таблицы простейших интегралов называется непосредственным интегрированием. Покажем это на примерах.

Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из самых эффективных приемов сведения неопределенного интеграла к табличному. Такой прием называется методом подстановки, или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

ТЕОРЕМА 1. Пусть функция х = φ(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, а Х — множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если функция f(x) имеет первообразную на множестве Х, то на множестве Т справедлива формула

Выражение (6.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Рассмотрим применение этого приема на примерах вычисления интегралов.

Решение. Здесь разложение по биному Ньютона представляется весьма сложным. Введем новую переменную t = х — 1. Тогда х = t + 1, dx = dt, и исходный интеграл преобразуется следующим образом:

Сделав обратную замену переменной, получаем окончательный ответ:

Решение. Положим t = 2 - х, тогда х = 2 - t, dx = -dt. Отсюда по формуле (6.1) получаем

Решение. Преобразуем этот интеграл, переписав его в виде

Из вида подынтегральной функции следует, что целесообразно ввести новую переменную t = sin x. Тогда 1 — sin2 х = 1 — t2, dt = cos x dx; подстановка в интеграл дает

Здесь использован табличный интеграл 10.

Решение. Введем новую переменную t = x4 и выполним все необходимые операции: x8 + 1 = t2 + 1, dt = 4xзdx, откуда имеем

Решение. Положим t = х2 + 1, тогда dt = 2х dx или xdx = , и данный интеграл принимает вид табличного интеграла:

Для примера вычислим значение sin200.

Предварительно переведем угол 200 в радианы: 200 = p/9.

Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:

В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.

  На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от количества членов разложения. Как видно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002.

 Выше говорилось, что при х®0 функция sinx является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. sinx @ x.

Степенные ряды.

Понятие степенного ряда.

 На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.

 Определение. Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

  Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1:  ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница).

При х = -1:  ряд расходится (гармонический ряд).


Основные правила интегрирования