Интернет-магазин электроники и бытовой техники

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Китайские косметические средства

Китайская народная медицина

Копии смартфонов

Духи от Dior

Стильные браслеты с уникальным дизайном

Термос Bullet

Часы Hublot механические

Гироскутер SmartWay

Женский Интим-гель

Нужен оригинальный подарок? Закажи

Математический анализ Понятие дифференциала функции

Высшая математика в экономике

Интегрирование по частям

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции и(х) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция u(x)v'(x) также имеет первообразную на промежутке X, причем справедлива формула

С учетом вида дифференциалов функций v'(x)dx = dv и u'(x)dx = du равенство (6.2) часто используют в форме

Равенство (6.2) (или (6.3)) называется формулой интегрирования по частям.

В интегрировании по частям самым сложным является выбop в подынтегральном выражении сомножителя v'(x) dx = dv. Под знак дифференциала d можно в принципе внести все что угодно; однако выбор должен быть таким, чтобы интеграл в правой части (6.2) был проще исходного, а не сложнее. В этом смысле метод интегрирования по частям позволяет свести интеграл dv к интегралу du, вычислить который существенно проще. Рассмотрим примеры нахождения интегралов методом интегрирования по частям.

Пример 8. dx.

Решение. Здесь берем и(х) = ln x, dv = dx, т.е. v = х. По формуле (6.2) получаем

В общем случае интегралы вида ln х dx, где п ≠ 1 — целое число, берутся только интегрированием по частям: и = ln x, xndx = dv, т.е. v = хn+1 /(п + 1). Аналогичным образом берутся и интегралы вида arctg x dx.

Пример 9. dx.

Решение. В этом случае и = х, eхdx = dv = d(ex), тогда по формуле (6.2) имеем

Интегралы вида dx, где п > 0 — целое число и k ≠ 0 — любое число, берутся n-кратным интегрированием по частям до исчезновения степени х в подынтегральной функции; при этом каждый раз под знак d вносится еkx, т.е. ekxdx = dv = d(еkx).

Ррешение. Интегралы вида cos kx dx и sin kx dx, где k — любое число и п > 0 — целое число, вычисляются так же, как и интеграл общего вида, приведенный в примере 1. Под знак d каждый раз вносится тригонометрическая функция, и процедура интегрирования по частям повторяется n раз:

cos kx dx = dv = d (sin kx), затем sin kx dx = -d(cos kx) и т.д.

В данном случае мы имеем

Введем понятие рациональной функции от двух переменных. Это функция, полученная из переменных и и v путем проведения над ними арифметических операций. Например, функция

является рациональной от переменных u и v. В свою очередь переменные и и v также могут являться функциями. Например,

Рациональная функция от sin х и cos х

Рассмотрим интеграл вида

где R — рациональная функция. Этот интеграл рационализируется универсальной подстановкой

Действительно,

Подстановка формул (6.5) в интеграл (6.4) дает

где R1(t) — другая рациональная функция аргумента t. Рассмотрим примеры вычисления интегралов, содержащих рациональные функции от sin x и cos x.

Решение. Подставляя сюда формулы (6.5), после очевидных упрощений получаем

Пример 12.  dx, т и п — натуральные числа.

Решение. Универсальная подстановка приведет здесь к громоздким выкладкам; гораздо удобнее применить метод замены переменной. В зависимости от четности m и п употребимы три следующих варианта.

1) m — четное, n — нечетное, подстановка t = sin x.

2) т — нечетное, n — четное; подстановка t = cos x.

3) m и n — оба нечетные; любая из двух подстановок 1 или 2.

4) m и п — оба четные; понизить степени тригонометрических функций и в полученной сумме проверить каждое слагаемое по пп. 1-3.

Например, найти интеграл dx.

Согласно п. 2 выполним подстановку t = cos x; тогда dt = - sin x dx, sin4 x = (1 — t2)2; отсюда имеем

Рациональная функция от еx

Интеграл вида

рационализируется подстановкой

Пример 13. Найти интеграл . Применяя подстановку (6.6), получим

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить интегралы методом непосредственного интегрирования.

Вычислить интегралы методом подстановки.

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.

Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

  Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Степенные ряды.

Понятие степенного ряда.

 На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.

 Определение. Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

  Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1:  ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница).

При х = -1:  ряд расходится (гармонический ряд).


Основные правила интегрирования