Интернет-магазин электроники и бытовой техники

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Китайские косметические средства

Китайская народная медицина

Копии смартфонов

Духи от Dior

Стильные браслеты с уникальным дизайном

Термос Bullet

Часы Hublot механические

Гироскутер SmartWay

Женский Интим-гель

Нужен оригинальный подарок? Закажи

Математический анализ Понятие дифференциала функции

Высшая математика в экономике

Основные правила интегрирования

Замена переменной в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 5. Пусть: 1) f(x) — непрерывная функция на отрезке [а, b]; 2) функция φ(t) дифференцируема на [α, β], причем φ'(t) непрерывна на [α, β] и множеством значений функции φ(t) является отрезок [а, b], 3) φ(α) = а, φ(β) = b. Тогда справедлива формула

Формула (7.12) называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле.

Заметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к прежней переменной, как это делалось при вычислении неопределенного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое согласно формуле (7.12) равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и затем выполнить необходимые преобразования подынтегральной функции.

Заметим также, что при замене переменной в определенном интеграле необходимо соблюдать условия теоремы 7.5, иначе можно получить неверный результат (особое внимание следует уделять выполнению условия 2 теоремы).

Вычислить определенные интегралы методом подстановки.

Решение. Выполним подстановку t = 1 + х2. Тогда dt = 2х dx, t = 1 при х = 0 и t = 2 при х = 1. Поскольку функция х = непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для нее в силу теоремы 7.5 существует первообразная на этом отрезке. Получаем

Решение. Применим здесь подстановку х = a sin t. Тогда dx = a cos t dt, = a cos t, t = arcsin , t = 0 при x = 0, t =  при x = а. Подставляя все это в исходный интеграл, получим

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Вычислим этот интеграл при помощи замены переменной t = tg х. Тогда t = 0 при х = 0 и t = 0 при х = π, х = arctg t, т.е. dx = dt / (l + t2). Подстановка в исходный интеграл дает

Полученное противоречие объясняется тем, что функция замены переменной t = tg x имеет разрыв при х = π/2 и не удовлетворяет условию 2 теоремы 7.5.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 6. Пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а, b]; тогда справедлива формула

Равенство (7.13) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. Рассмотрим ряд примеров вычисления определенных интегралов методом интегрирования по частям.

Решение. Положим здесь и = х, v = e-x, тогда dv = -e-xdx и

Решение. Здесь и = х, sin x dx = dv или v = - cos x; далее по формуле (7.13) имеем

7.5. Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную графиком непрерывной и положительной функции f(x) на отрезке [а, b], отрезком [а, b] и вертикальными прямыми х = а и х = b (рис. 7.2). Эту фигуру будем называть криволинейной трапецией.

Величина площади криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции f(x) на отрезке [а, b]:

Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями f(x) и g(х) соответственно, непрерывными на отрезке [а, b], то площадь S криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками f(x) и g(х):

Рассмотрим задачи на вычисление площадей фигур.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = ln x ≥ 0, осью Ох и прямой х = 2.

Решение. Отрезок интегрирования: 1 ≤ х ≤ 2 (рис. 7.3), так что искомая площадь согласно формуле (7.14) равна:

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = х2.

Решение. Вычислим абсциссы точек пересечения указанных кривых, для чего приравняем правые части этих уравнений: х2 = . Корни этого уравнения суть x1 = 0, x2 = 1. Следовательно, площадь фигуры, ограниченной сверху функцией у =  и снизу функцией у = x2 (рис. 7.4), дается определенным интегралом на отрезке [0,1]:

Объем тела вращения

Рассмотрим тело, которое образуется при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [а, b] функцией f(x) (рис. 7.5). Объем этого тела вращения определяется формулой

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Оу, то, выражая х через у как обратную функцию, мы можем получить аналогичным образом формулу для объема тела вращения:

где [c, d] — область изменения функции у = f(x).

Рассмотрим примеры вычисления объемов тел, образованных вращением фигур, ограниченных следующими линиями.

Пример 3. у = х2, у =  вокруг оси Ох.

Решение. Искомый объем вращения равен разности объемов, образованных вращением криволинейных трапеций с верхними границами соответственно у =  и у = х2. Пределы интегрирования определяются по точкам пересечения этих кривых: а = 0 и b = 1. По формуле (7.15) получаем

Пример 4. у = eх, х = 0, х = 1, у = 0 вокруг оси Оу.

Ррешение. Выражаем х через у: х = ln у; промежуток интегрирования [1, е] определяется очевидным образом. Объем тела вращения (рис. 7.6) равен разности объемов соответственно цилиндра радиуса 1 и высоты е и тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой х = ln у. Согласно формуле (7.15) получаем

Точки экстремума.

 Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +Dx) > f(x2) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

 Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

  Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

 Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то  производная функции обращается в нуль в этой точке.

 Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1 максимум.

 Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

, т.е.

 Тогда

  По определению:

Т.е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x1) £ 0.

Некоторые приложения в экономике Вообще говоря, в экономических задачах переменные меняются дискретно. Для использования определенного интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, предполагающую непрерывное изменение зависимых переменных (функций) и независимых переменных (аргумента). Рассмотрим соответствующие примеры.

Степенные ряды.

Понятие степенного ряда.

 На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.

 Определение. Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

  Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1:  ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница).

При х = -1:  ряд расходится (гармонический ряд).


Основные правила интегрирования