Математический анализ Понятие дифференциала функции

Высшая математика в экономике

Функции нескольких переменных

Евклидово пространство Em

Евклидова плоскость и евклидово пространство

Как мы знаем, множество всех упорядоченных пар вещественных чисел (x, у) называется координатной плоскостью и каждая точка на ней характеризуется парой своих координат: М(x, у).

Определение 1. Координатная плоскость называется евклидовой плоскостью, если расстояние между двумя любыми точками M1(x1, y1) и М2(x2, y2) определено по формуле

Аналогично вводится и понятие евклидова пространства. В этом случае каждая точка координатного пространства характеризуется тройкой чисел и тогда расстояние между двумя любыми точками пространства M(x1, y1 ,z1) и М(x2, y2, z2) определяется формулой

Стало быть, евклидова плоскость и евклидово пространство определяются способом измерения расстояния между двумя любыми своими точками.

Понятия m-мерного координатного пространства и m-мерного евклидова пространства

Определение 2. Множество всевозможных упорядоченных совокупностей т действительных чисел (x1, х2, x3, ..., xm) называется т-мерным координатным пространством Аm.

Каждую упорядоченную совокупность (x1, x2, x3,, … ,xт,) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М. При этом числа x1, x2, x3, …, xm называются координатами точки М, что символически записывается следующим образом: М(x1, x2, ..., xm).

Определение 3. Координатное пространство Аm называется т-мерным евклидовым пространством Еm, если между двумя любыми точками М'(х1', х2, '... , хm') и М"(x1'', х2'',... , хm'') пространства Аm определено расстояние ρ(М', М") по формуле

Очевидно, что введенные понятия m-мерного координатного пространства Аm и m-мерного евклидова пространства Em являются обобщениями понятий соответственно координатных плоскости и пространства и евклидовых плоскости и пространства.

8.2. Множества точек евклидова пространства Еm

Примеры множеств евклидова пространства Еm

Будем обозначать символом {М} некоторое множество точек m-мерного пространства Еm. Рассмотрим некоторые примеры множеств в этом пространстве.

1. Множество {М} всевозможных точек, координаты x1, x2, ..., xm которых удовлетворяют неравенству

называется т-мерным шаром радиуса R с центром в точке M0(x,x,...,x).

Этот пример является m-мерным обобщением соответственно круга на евклидовой плоскости и шара в трехмерном евклидовом пространстве, которые задаются следующими неравенствами:

Неравенство (8.2) можно переписать с учетом (8.1) в виде

В случае строгого неравенства ρ(М, М0) < R множество {М} называется открытым т-мерным шаром. Часто это множество также называют R-окрестностью точки M0. В случае (8.3) если неравенство не строгое, множество {М} называется замкнутым т-мерным шаром. Эти понятия переносятся на случай любой размерности при т ≥ 2.

2. Множество {М} точек, таких, что расстояние от каждой из них до некоторой точки M0 удовлетворяет равенству ρ(М, М0) = R, называется т-мерной сферой радиуса R с центром в точке M0.

Аналогия: для плоскости — окружность (x – x0)2 + (у – y0)2 = R2 радиуса R с центром в точке М0(х0, у0), для пространства — сфера (x – x0)2 + (у – y0)2 + (z – z0)2 = R2 радиуса R с центром в точке М0(х0, у0, z0).

Понятие функции нескольких переменных

Введем понятие функции нескольких переменных.

Определение 1. Пусть каждой точке М из множества точек {М} евклидова пространства Em по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число и из числового множества U. Тогда будем говорить, что на множестве {М} задана функция и = f(M). При этом множества {М} и U называются соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M).

Как известно, функция одной переменной у = f(x) изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения {Мп} функции z = f(x, y) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оху (рис. 8.1). Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E3. Аналогичным образом функция от т переменных

определенная на множестве {М} евклидова пространства Еm, представляет собой гиперповерхность в евклидовом пространстве Еm+1.

Некоторые виды функций нескольких переменных

Рассмотрим примеры функций нескольких переменных и найдем их области определения.

Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве Е3. Областью определения этой функции является все множество точек плоскости Оху. Область значений этой функции — промежуток [0, ). Данная функция представляет собой параболоид вращения (рис. 8.2): в вертикальных сечениях этой поверхности плоскостями Oxz и Оуz получаются соответственно параболы z = х2 и z = у2.

Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве Е3. Область определения данной функции — все множество точек евклидова пространства Е2 или плоскости Оху. Эта функция является так называемым эллиптическим конусом с вершиной в начале координат O(0, 0, 0); приведенная формула суммирует две функции, задающие две его симметричные относительно плоскости Оху части (рис. 8.3):

Приведем теперь наиболее часто встречающиеся в различных приложениях виды функций нескольких переменных.

1. Уравнение вида

называется общим уравнением плоскости в системе координат Oxyz. Вектор = (А, В, С) перпендикулярен плоскости (8.4); он называется нормальным вектором этой плоскости. Если известно, что плоскость проходит через некоторую точку M0(x0, y0, z0), то она может быть задана уравнением

Например, составить уравнение плоскости с перпендикулярным вектором  = (1, 2, -1), проходящей через точку М0 (2, 1, 1), Согласно формуле (8.5) имеем

2. Функция Кобба—Дугласа — производственная функция, показывающая объем выпуска продукции Q при затратах капитала К и трудовых ресурсов L. Для случая двух переменных она имеет вид

где А > 0 — параметр производительности конкретно взятой технологии, 0 < α < 1 — доля капитала в доходе.

Линии уровня

Понятие линии уровня широко используется прежде всего в геодезии, картографии, при составлении синоптических карт, а также при описании различных физических полей (температура, давление и пр.).

Определение 2. Линией уровня функции двух переменных z = f(x, y) называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции плоскостью z = С, где С — постоянная величина, параллельной координатной плоскости Оху.

Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям постоянной величины С, проецируются на одну плоскость, например на координатную плоскость Оху; тогда их удобно анализировать и с их помощью исследовать сложный характер поверхности, описываемой функцией z = f(x, у).

Таким образом, можно сказать, что линии уровня функции z = f(x, у) — это семейство кривых на координатной плоскости Оху, описываемое уравнениями вида

Обычно берут арифметическую прогрессию чисел Ci с постоянной разностью h; тогда по взаимному расположению линий уровня можно получить представление о форме поверхности, описываемой функцией z = f(x, у). Там, где функция изменяется быстрее, линии уровня сгущаются, а там, где поверхность пологая, линии уровня располагаются реже (рис. 8.4).

Пример 3. Найти линии уровня функции z = х2 + у2 — 2х — 2у.

Решение. Линии уровня данной функции — это семейство кривых на плоскости Оху, описываемое уравнением

Последнее уравнение описывает семейство окружностей с центром в точке O1(l, 1) радиуса r =. Поверхность вращения (параболоид), описываемая данной функцией, становится "круче" по мере ее удаления от оси, которая дается уравнениями x = 1, у = 1.

Таблица основных интегралов.

 Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

 Интеграл

 Значение

 Интеграл

 Значение

1

 -ln½cosx½+C

9

 ex + C

2

 ln½sinx½+ C

10

 sinx + C

3

 

11

 -cosx + C

4

 

12

 tgx + C

5

13

 -ctgx + C

6

ln

14

 arcsin + C

7

15

8

 

16

 

Частные производные функции нескольких переменных Частные производные первого порядка Пусть функция двух переменных z = f(x, у) определена в некоторой окрестности точки М(x, у) евклидова пространства Е2. Частная производная функции z = f(x, у) по аргументу x является обыкновенной производной функции одной переменной х при фиксированном значении переменной у и обозначается как

Локальный экстремум функции нескольких переменных Определение и необходимые условия существования локального экстремума Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М0 (x0, у0) — некоторая точка этого множества. Определение. Функция z = f(x, у) имеет в точке М0 локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M0, принадлежащая {М}, что для любой точки М(х, у) из этой окрестности выполняется неравенство f(M) ≤ f(M0) (f(М) ≥ f(М0)); для случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично.

Оптимальное распределение ресурсов Рассмотрим типичную задачу оптимального распределения ресурсов на примере функции выпуска и = а0ху2 при допущении, что функция затрат на ресурсы x и у линейна, т.е. имеет вид и = Р1х+Р2у, где P1 и Р2 — соответствующие цены на эти факторы.

 Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.

Подынтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:

Тогда

Окончательно получаем:


Основные правила интегрирования