Математический анализ Понятие дифференциала функции

Высшая математика в экономике

Оптимальное распределение ресурсов

Рассмотрим типичную задачу оптимального распределения ресурсов на примере функции выпуска и = а0ху2 при допущении, что функция затрат на ресурсы x и у линейна, т.е. имеет вид и = Р1х+Р2у, где P1 и Р2 — соответствующие цены на эти факторы.

В точке F(x0, y0), определяющей оптимальное определение ресурсов, линии уровня функций выпуска и затрат касаются (рис. 8.5). Эти линии определяются соответственно уравнениями a0xy2 = C, Р1х + Р2у = А, или у = (b/x)1/2, у = —(Р1/Р2)х + А/Р2, где C > 0 и A > 0 — постоянные числа, b =C/a0. Условие касания этих линий дается уравнением

Из этого уравнения определяется значение x0 = b1/3(P2/2P1)2/3. Тогда из уравнения линии уровня функции выпуска определяется значение у0 = (b/x0)1/2 = b1/3(2P1/P2)1/3. Отсюда получаем, что оптимальное распределение ресурсов х0/у0 должно быть произведено в отношении Р2 : 2P1.

Максимизация прибыли производства продукции

Функция прибыли обычно вычисляется по формуле

где F(K, L) — производственная функция, Р — цена продукции, W и R — соответственно факторные цены на труд и капитальные затраты, L и К — соответственно затраты трудовых ресурсов и капитала. Рассмотрим две задачи, связанные с определением максимума прибыли.

1. Точка (K0, L0) называется оптимальным планом, если в ней функция прибыли (8.13) принимает максимальное значение. Найти предельную норму замещения производственной функции F при оптимальном плане.

В точке локального экстремума первые производные функции прибыли П(K, L) равны нулю, откуда имеем систему двух уравнений

Как известно, предельная норма замещения вычисляется по формуле μ = -F'L / F'K, откуда при оптимальном плане получаем μ = -W/R.

2. Максимизация функции прибыли. Найти оптимальный план и максимум  функции прибыли (8.13), если F(K, L) = 2(K L)1/3.

В данном случае функция прибыли имеет вид

Условия локального экстремума приводят к системе двух линейных алгебраических уравнений относительно координат К0 и L0 оптимального плана

Отсюда получаем координаты оптимального плана:

Подстановка этих величин в функцию прибыли дает ее максимум:

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов относится к методам аппроксимации, или приближенного восстановления функции по известным ее значениям в ряде точек. На практике часто возникает задача о наилучшем подборе эмпирических формул, позволяющих представить в аналитической форме данные статистических наблюдений, измерений и т.д. Задача формулируется следующим образом: имеются данные наблюдений в п точках

некоторой величины и и получены соответствующие значения

Нужно подобрать функцию определенного вида и = f(М), чтобы она по возможности наиболее точно отражала общую зависимость измеряемой величины и от параметров (координат) точек измерения {Мi}.

Таким образом, задача нахождения эмпирических формул состоит из двух этапов:

1) определение общего вида зависимости f(M) или вида функции f с точностью до постоянных параметров (коэффициентов), входящих в нее;

2) неизвестные коэффициенты подбираются таким образом, чтобы в точках наблюдений (8.14) подобранная функция как можно лучше отвечала данным измерений (8.15).

Итак, пусть на первом этапе определено, что эмпирическая формула должна включать совокупность известных базовых функций

т.е. эта формула должна иметь вид

где

— неизвестные параметры эмпирической функции.

Второй этап состоит в определении неизвестных параметров (8.18). Их следует выбрать такими, чтобы значения функции (8.17) по возможности наименее всего отклонялись в точках (8.14) от измеренных значений (8.15).

Метод наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратов погрешностей (отклонений) δi (рис. 8.6) функции (8.17) в точках (8.14) как функции от т аргументов — неизвестных параметров:

Для установления точки минимума функции (8.19) т переменных (8.18) нужно найти частные производные этой функции по всем т аргументам и приравнять их к нулю. Отсюда получается система т линейных алгебраических уравнений относительно т неизвестных параметров (8.18)

Коэффициенты и свободные члены уравнений этой системы определяются по формулам

Поскольку функция (8.19) является положительной, выпуклой вниз и неограниченной в евклидовом пространстве Em, то решение системы уравнений (8.20) представляет собой координаты точки ее локального минимума.

При обработке данных экономической статистики наиболее распространенным является приближение эмпирической формулой в виде линейной функции одной переменной (например, это широко используется в трендовом анализе). В этом случае совокупность точек измерения (8.14) представляет собой набор значений аргумента x1, х2, ..., xп, а совокупность функций (8.16) состоит из двух функций: x и 1. Эмпирическая формула (8.17) имеет вид

Неизвестные параметры а и b определяются из системы двух линейных уравнений

в которой коэффициенты и свободные члены выражаются формулами

УПРАЖНЕНИЯ

Найти области определения функций.

Построить линии уровня функций.

Найти частные производные от функций.

Найти градиент и его модуль для функций в указанных точках.

8.29. Доказать, что для функций, указанных в задачах 8.23 и 8.24, модуль градиента равен единице во всей области определения.

Найти частные производные второго порядка.

Найти экстремумы функций.

8.43. Найти размеры цилиндра наибольшего объема, если его полная поверхность равна 6π.

8.44. Цены на два вида товаров равны соответственно Р1 = 32 и P2 = 24 денежным единицам. Определить, при каких количествах х и у продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет вид С = х2 + 2ху + у2.

8.45. В результате эксперимента для пяти значений аргумента x получены пять значений величины и:

Методом наименьших квадратов найти функциональную зависимость между х и и в виде линейной функции и = ах + b.

Пример: Вычислить sin28013¢15¢¢.

Для того, чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями:

10 = ; 280;

1¢;

;

рад

Если при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми членами, получим:  sinx = .

Сравнивая полученный результат с точным значением синуса этого угла,

sin= 0,472869017612759812,

видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.

Функция f(x) = ln(1 + x).

 Получаем:  f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0;

f¢(x) =

 

 

………………………………………

 

Итого:

  Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.

ln1,5 = 0,405465108108164381

  Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.

 Ниже будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора не только к приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных уравнений, а также к вычислению интегралов.

 Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.

Подынтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:

Тогда

Окончательно получаем:


Основные правила интегрирования