Математический анализ Понятие дифференциала функции

Высшая математика в экономике

Элементы теории вероятностей

События, происходящие в окружающем нас мире, можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным относительно комплекса условий S называется событие, которое обязательно произойдет при осуществлении этого комплекса условий. Например, если гладкий желоб с лежащим внутри него тяжелым шариком наклонить, то шарик обязательно покатится по желобу в сторону уклона. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении комлекса условий S. Например, из герметически изолированного сосуда вода не может вылиться. Случайным относительно комплекса условий S называется событие, которое при осуществлении указанного комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. Например, если вы уронили фарфоровую чашку на пол, то она может как разбиться, так и остаться неповрежденной.

Теория вероятностей имеет дело со случайными событиями. Однако она не может предсказать, произойдет единичное событие или нет. Теория вероятностей изучает вероятностные закономерности массовых однородных случайных событий. Ее методы получили широкое распространение в различных областях естествознания и в прикладных проблемах техники. Теория вероятностей легла в основу теории массового обслуживания и теории надежности. В последние годы аппарат теории вероятностей активно используется в экономике.

Основные понятия теории вероятностей

Некоторые формулы комбинаторики

Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составлять определенные комбинации, количества которых изучает комбинаторика. Некоторые ее формулы используются в теории вероятности; приведем их.

Комбинации, состоящие из одной и той же совокупности п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения, называются перестановками. Число всех возможных перестановок определяется произведением чисел от единицы до п:

Пример 1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 с использованием всех указанных цифр в каждом числе ?

Решение. Искомое число равно Р4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24.

Комбинации по т элементов, составленные из п различных элементов (m ≤ п), отличающиеся друг от друга либо элементами, либо их порядком, называются размещениями. Число всевозможных размещений

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из семи различных цифр при отсутствии среди них нуля ?

Решение. Искомое количество цифр

Комбинации, содержащие по т элементов каждая, составленные из п различных элементов (m ≤ п) и различающиеся хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Число сочетаний дается формулой

Можно показать, что справедливы формулы

В частности, первую из формул удобно использовать в расчетах, когда т > п/2.

Напомним формулу бинома Ньютона, в которой участвуют коэффициенты (17.1):

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать а) по три карты, б) по 32 карты из колоды, содержащей 36 игральных карт?

Решение. Искомое число способов:

Виды случайных событий

Выше было введено определение случайного события. Обычно в теории вероятностей вместо "совокупности условий" употребляют термин "испытание", и тогда событие трактуется как результат испытания. Например, стрельба по мишени: выстрел — это испытание, попадание в мишень — это событие. Другой пример: подбрасывание монеты вверх — это испытание, выпадение орла (или решки) — это событие.

Определение 1. События называют несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление других. Например, выпадение орла при подбрасывании монеты исключает появление в этом же испытании решки и наоборот.

Определение 2. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным событием. Например, при произведении выстрела по мишени (испытание) обязательно будет либо попадание, либо промах; эти два события образуют полную группу.

Следствие. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Этот частный случай будет использован далее.

Классическое определение вероятности

Назовем каждый из возможных результатов испытания элементарным событием, или исходом. Те элементарные исходы, которые интересуют нас, называются благоприятными событиями.

Определение 3. Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, называется вероятностью события А.

Вероятность события А обозначается Р(А). Понятие вероятности является одним из основных в теории вероятностей. Данное выше определение является классическим. Из него вытекают некоторые свойства.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число:

Следовательно, вероятность любого события удовлетворяет неравенству

Отметим, что современные курсы теории вероятностей основаны на теоретико-множественном подходе, в котором элементарные события являются точками пространства элементарных событий Ω; при этом событие А отождествляется с подмножеством элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, А   Ω.

Приведем примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 4. В коробке лежит 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 4 белых.

Решение. Найдем число благоприятных исходов: число способов, которыми можно взять 4 белых шара из 6 имеющихся, равно C = C = . = 15. Общее число исходов определяется числом сочетаний из 10 по 5: C = 252. Согласно определению 3 искомая вероятность Р = 15/252 ≈ 0,06.

Пример 5. Какова вероятность того, что при заполнении карточки спортивной лотереи "6 из 36" будет угадано 4 номера?

Решение. Общее число исходов равно C = 1947792. Число благоприятных исходов равно С = 15. Отсюда искомая вероятность равна 7,7 ∙ 10-6.

Пример 6. В ящике находится 10 стандартных и 5 нестандартных деталей. Какова вероятность, что среди наугад взятых 6 деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?

Решение. Общее число исходов равно С. Число благоприятных исходов определяется произведением СС, где первый сомножитель соответствует числу вариантов изъятия из ящика 4-х стандартных деталей из 10, а второй — числу вариантов изъятия из ящика 2-х нестандартных деталей из пяти. Отсюда следует, что искомая вероятность равна

Пример: Найдем значение числа е.

В полученной выше формуле положим х = 1.

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553

  На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора.

 Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.

Функция f(x) = sinx.

 Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0

  f¢(x) = cosx = sin( x + p/2);  f¢(0) = 1;

 f¢¢(x) = -sinx = sin(x + 2p/2); f¢¢(0) = 0;

 f¢¢¢(x) = -cosx = sin(x + 3p/2); f¢¢¢(0)=-1;

 …………………………………………

  f(n)(x) = sin(x + pn/2); f(n)(0) = sin(pn/2);

 f(n+1)(x) = sin(x + (n + 1)p/2); f(n+1)(e) = sin(e + (n + 1)p/2);

Итого: 

Функция f(x) = cosx.

 Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:

Функция f(x) = (1 + x)a.

(a - действительное число)

…………………………………………………..

Тогда:

  Если в полученной формуле принять a = n, где n- натуральное число и f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, тогда

Получилась формула, известная как бином Ньютона.

Теорема сложения вероятностей Несовместные события Определение Суммой двух событий А и В называют событие С = А + В, которое состоит в появлении либо события А, либо события В, либо событий A и В одновременно. Это определение напоминает сумму множеств (см. гл. 1) и используется в теоретико-множественном подходе теории вероятностей. Примеры суммы событий: произведены два выстрела, и события А и В — попадания при первом и втором выстрелах соответственно; тогда А + В — попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо в обоих выстрелах. Если события А и В несовместные, то их сумма — это событие, состоящее в появлении какого-либо из этих событий.

Обобщения теорем сложения и умножения Появление только одного из независимых событий Рассмотрим примеры совместного применения теорем сложения и умножения. Пусть два независимых события А1 и А2 имеют вероятности появления соответственно p1 и р2. Найдем вероятность появления только одного из этих событий. Для этого введем новые события: В1 и B2. Событие В1 состоит в том, что событие А1 наступило, а событие А2 не наступило; иными словами, В1 = A12. Аналогичным образом определяется и событие B2 = 1A2 (совместное ненаступление события A1 и наступление события А2).

Схема независимых испытаний Формула Бернулли Определение. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события А. Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятность противоположного события — ненаступления события А — также постоянна в каждом испытании и равна q = 1 - p. В теории вероятностей представляет особый интерес случай, когда в п испытаниях событие А осуществится k раз и не осуществится п - k раз.

Случайные величины и законы их распределения Виды случайных величин Определение. Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин. Каждой случайной величине соответствует множество чисел — это множество значений, которые она может принимать. Например, число мальчиков среди 100 новорожденных — это случайная величина, которая может принимать значения от 0 до 100. Далее будем обозначать случайные величины прописными буквами, а их возможные значения — строчными буквами; например, случайная величина Х имеет два возможных значения x1 и х2. Другой пример: случайная величина Y принимает возможные значения, принадлежащие интервалу (а, b). Различают два вида случайных величин.

Пример. Разложить в ряд функцию

Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.

(См. Функция y= ln (1 + x)) Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.

 При  получаем по приведенной выше формуле:

Разложение в ряд функции  может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.

Тогда получаем:

Окончательно получим:


Основные правила интегрирования