Интернет-магазин электроники и бытовой техники

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Китайские косметические средства

Китайская народная медицина

Копии смартфонов

Духи от Dior

Стильные браслеты с уникальным дизайном

Термос Bullet

Часы Hublot механические

Гироскутер SmartWay

Женский Интим-гель

Нужен оригинальный подарок? Закажи

Элементы линейного программирования Параметрическое линейное программирование

Высшая математика в экономике

Некоторые элементы математической статистики

Задачи математической статистики

Первой задачей математической статистики является указание методов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов или наблюдений. Вторая задача — это разработка методов анализа статистических данных: оценки неизвестных вероятности события, а также функции и параметров распределения; оценка зависимости случайной величины от других случайных величин; проверка статистических гипотез о виде и величинах параметров неизвестного распределения. Рассмотрим некоторые из этих вопросов.

Выборки

На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересующей нас совокупности) проводят крайне редко. К тому же если эта совокупность содержит большое число объектов или исследование объекта требует нарушения его функционального стандарта, то сплошное исследование нереально. В таких случаях из всей совокупности случайно отбирают ограниченное число объектов и подвергают их исследованию.

Введем основные понятия, связанные с выборками. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности. Число объектов в совокупности называется ее объемом.

Пример 1. Пусть из 2000 изделий отобрано для обследования 100 изделий. Тогда объем генеральной совокупности N = 2000, а объем выборки п = 100.

Выборку можно осуществлять двумя способами. Если после исследования объект из выборки возвращается в генеральную совокупность, то такая выборка называется повторной; если объект не возвращается в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если по ее данным можно достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности.

Способы отбора

Различают два способа отбора: без расчленения генеральной совокупности на части и с расчленением. К первому относятся простые случайные отборы (либо повторный, либо бесповторный), когда объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности; такой отбор можно производить с использованием таблицы случайных чисел.

Второй способ отбора включает в себя следующие разновидности, соответствующие способам расчленения генеральной совокупности. Отбор, при котором объекты отбираются из каждой "типической" части генеральной совокупности, называется типическим. Например, отбор деталей из продукции каждого станка, а не из их общего количества является типическим. Если генеральную совокупность делят на число групп, равное объему выборки, с последующим отбором из каждой группы по одному объекту, то такой отбор называется механическим. Серийным называется отбор, при котором объекты отбираются не по одному, а сериями; этот способ используется, когда исследуемый признак имеет незначительные колебания в различных сериях.

На практике часто употребляется комбинирование указанных выше способов отбора. Например, генеральную совокупность разбивают на серии одинакового объема, затем случайным образом отбирают несколько серий и в завершение случайным извлечением отдельных объектов составляют выборку. Конкретная комбинация способов отбора объектов из генеральной совокупности определяется требованием репрезентативности выборки.

Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п, в которой значение x1 некоторого исследуемого признака Х наблюдалось п1 раз, значение x2 — п2 раз, ..., значение xk — nk раз. Значения xi называются вариантами, а их последовательность, записанная в возрастающем порядке,— вариационным рядом. Числа ni называются частотами, а их отношения к объему выборки

— относительными частотами. При этом ni = п. Модой Мo называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Медианой те называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой. Если число вариант нечетно, т.е. k = 2l + 1, то me = xl+1; если же число вариант четно (k = 2l), то те = (xl + xl+1)/2. Размахом варьирования называется разность между максимальной и минимальной вариантами или длина интервала, которому принадлежат все варианты выборки:

Перечень вариант и соответствующих им частот называется статистическим распределением выборки. Здесь имеется аналогия с законом распределения случайной величины: в теории вероятностей — это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — это соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами (относительными частотами). Нетрудно видеть, что сумма относительных частот равна единице: Wi = 1.

Пример 2. Выборка задана в виде распределения частот:

Найти распределение относительных частот и основные характеристики вариационного ряда.

Решение. Найдем объем выборки: п = 2 + 4 + 5 + 6 + 3 = 20. Относительные частоты соответственно равны W1 = 2/20 = 0,1; W2 = 4/20 = 0,2; W3 = 5/20 = 0,25; W4 = 6/20 = 0,3; W5 = 3/20 = 0,15. Контроль: 0,1 + 0,2 + 0,25 + 0,3 + 0,15 = 1. Искомое распределение относительных частот имеет вид

Мода этого вариационного ряда равна 12. Число вариант в данном случае нечетно: k = 2 ∙ 2 + 1, поэтому медиана me = x3 = 8. Размах варьирования, согласно формуле (18.48), R = 17 – 4 = 13.

Эмпирическая функция распределения

Пусть nх — число наблюдений, при которых значение признака Х меньше х. При объеме выборки, равном п, относительная частота события Х < х равна nx/n.

Определение 8. Функция

определяющая для каждого значения х относительную частоту события Х < х, называется эмпирической функцией распределения, или функцией распределения выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения F*(x) выборки функция распределения F(x) генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения. Различие между ними состоит в том, что функция F(x) определяет вероятность события Х < х, a F*(x) — относительную частоту этого события. Из теоретических результатов общей теории вероятностей (закон больших чисел) следует, что при больших п вероятность отличия этих функций друг от друга близка к единице:

Нетрудно видеть, что F*(x) обладает всеми свойствами F(x), что вытекает из ее определения (18.49):

1) значения F*(x) принадлежат отрезку [0, 1];

2) F*(x) является неубывающей функцией;

3) если х1 — наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х ≤ х1; если xk — максимальная варианта, то F*(x) = 1 при x > xk.

Сама же функция F*(x) служит для оценки теоретической функции распределения F(x) генеральной совокупности.

Пример 3. Построить эмпирическую функцию по заданному распределению выборки:

Решение. Находим объем выборки: п = 10 + 15 + 25 = 50. Наименьшая варианта равна 2, поэтому F*(x) = 0 при х ≤ 2. Значение Х < 4 (или x1 = 2) наблюдалось 10 раз, значит, F*(x) = 10/50 = 0,2 при 2 < х < 4. Значения X < 6 (а именно x1 = 2 и x2 = 4) наблюдались 10 + 15 = 25 раз, значит, при 4 < х < 6 функция F*(x) = 25/50 = 0,5. Поскольку x = 6 — максимальная варианта, то F*(x) = 1 при х > 6. Напишем формулу искомой эмпирической функции:

График этой функции показан на рис. 18.8.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

 Дифференциал функции y = f(x) зависит от Dх и является главной частью приращения Dх.

 Также можно воспользоваться формулой

  Тогда абсолютная погрешность

  Относительная погрешность

  Более подробно применение дифференциала к приближенным вычислениям будет описано ниже.

Полигон и гистограмма Каждую пару значений (xi, ni) из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости. Точно так же можно рассматривать и пары значений (хi, Wi) относительного распределения выборки. Ломаная, отрезки которой соединяют точки (xi, ni), называется полигоном частот. Ломаная, соединяющая на координатной плоскости точки (xi, Wi), называется полигоном относительных частот.

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения Нормальное распределение является одним из самых распространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют характеристики, аналогичные для теоретического распределения

Основы оптимального управления Управление и планирование являются наиболее сложными функциями в работе предприятий, фирм, служб администраций всех уровней. Долгое время они являлись монополией человека с соответствующей подготовкой и опытом работы. Совершенствование науки, техники, разделение труда усложнили принятие решений в управлении и планировании. Для принятия обоснованного решения необходимо иметь и обработать большое количество информации, определяемое иногда астрономическими цифрами. Принятие ответственных решений, как правило, связано с большими материальными ценностями. В настоящее время недостаточно знать путь, ведущий к достижению цели. Необходимо из всех возможных путей выбрать наиболее экономичный, который наилучшим образом соответствует поставленной задаче.

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости .

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

  Теорема. Если степенной ряд  сходится для положительного значения х=х1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .


Элементы системы массового обслуживания