Элементы линейного программирования Параметрическое линейное программирование

Высшая математика в экономике

Экономический анализ задач с использованием графического метода

Проведем экономический анализ рассмотренной выше задачи по производству мороженого.

Математическая модель задачи имеет вид

при ограничениях:

Согласно найденному оптимальному решению, фирме необходимо выпускать в сутки 312,5 кг сливочного и 300 кг шоколадного мороженого, при этом максимально возможный доход составит 9 200 р.

Определим, как влияет на оптимальное решение увеличение или уменьшение запасов исходных продуктов. Для анализа задачи примем, что неравенства системы ограничений могут быть активными или пассивными. Если прямая проходит через точку, в которой находится оптимальное решение, то будем считать, что она представляет активное ограничение. В противном случае прямая относится к пассивному ограничению.

Если ограничение активное, то будем считать, что соответствующий ресурс является дефицитным, так как он используется полностью. Если ограничение пассивное, то оно недефицитное и имеется в фирме в избытке.

Рассмотрим увеличение ресурса правой части ограничения (20.1) по молоку (рис. 20.2). При перемещении параллельно самой себе прямой (20.1) вправо до пересечения с прямыми (20.2) и (20.3) в точке М ограничение (20.1) будет оставаться активным. Точку М определим как точку пересечения прямых (20.2) и (20.3):

Откуда получаем М(370,83; 270,3).

Подставляя координаты точки М в уравнение (20.1), получим предельно допустимый суточный запас молока:

при этом величина дохода составляет

Рассмотрим увеличение ограничения по наполнителям (рис. 20.3). При перемещении параллельно самой себе прямой (20.2) вправо до пересечения с прямыми (20.1) и (20.4) в точке N ограничение (20.2) будет оставаться активным. Точку N определим как точку пересечения прямых

Откуда получаем N(281,25; 350).

Предельно допустимый суточный запас наполнителей можно увеличивать до значения

при этом величина дохода составит

Рассмотрим возможность изменения правой части пассивных ограничений (20.3) и (20.4). Не изменяя оптимальное решение (рис. 20.4), прямую (20.3) можно перемещать параллельно самой себе вверх до пересечения с точкой D(312,5; 300), т.е. правую часть ограничения (20.3) можно уменьшать до величины

Прямую (20.3) можно перемещать параллельно самой себе вниз до пересечения с осью ОХ1 в точке Р(500; 0), т.е. правую часть ограничения (20.3) можно увеличивать до 500 кг.

Таким образом, при неизменном оптимальном решении разница в покупательском спросе на сливочное и шоколадное мороженое может изменяться в диапазоне от 12,5 до 500 кг.

Аналогично, не изменяя оптимальное решение (рис. 20.5), прямую (20.4) можно перемещать параллельно самой себе вверх до пересечения с осью ОХ2 в точке R(0; 456,25) или вниз до пересечения с прямой (20.1) в точке D(312,5; 300).

Таким образом, при неизменном оптимальном решении покупательский спрос на шоколадное мороженое может изменяться в диапазоне от 300 до 456,25 кг.

Проведем анализ задачи по пределам возможного изменения коэффициентов целевой функции, т.е. по диапазону оптовых цен на мороженое, при котором не происходит изменения оптимального решения.

Изменение коэффициентов целевой функции оказывает влияние на наклон линии уровня. Уравнение линии уровня записывается в общем виде (рис. 20.6):

Угловой коэффициент прямой (20.1):

Так как прямые совпадают, то К = К1, откуда c1max = 22,4 при c2 = 14. Коэффициент с1 можно уменьшать до совпадения линии уровня с прямой (20.2), поэтому

Таким образом, оптимальное решение задачи не изменится, если розничная цена 1 кг сливочного мороженого лежит в диапазоне от 7 до 22,4 р., при этом доход фирмы будет от 6 387,5 до 11200 р.

Аналогичные рассуждения для случая с1 = 16 позволили сделать вывод, что оптимальное решение задачи не изменится, если розничная цена 1 кг шоколадного мороженого лежит в диапазоне от 10 до 32 р., при этом доход фирмы будет от 8000 до 14 600 р.

УПРАЖНЕНИЯ

Решить задачи с использованием графического метода.

20.1. L() = 3x1 + х2 → max при ограничениях:

20.2. L() = 2x1 — 10x2 → min при ограничениях:

20.3. L() = 2x1 + 3x2 → max при ограничениях:

20.4. L() = 3x1 + 5х2 → max при ограничениях:

20.5. L() = 4x1 + 6x2 → min при ограничениях:

20.6. L() = 4x2 → min при ограничениях:

20.7. L() = 2x1 + 3x2 → max при ограничениях:

20.8. В суточный рацион включают два продукта питания П1 и П2, причем продукта П1 должно войти в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость 1 ед. продукта П1 составляет 2 р., продукта П2 — 4р. Содержание питательных веществ в 1 ед. продукта, минимальные нормы потребления указаны в табл. 20.2.

Определить оптимальный рацион питания, стоимость которого будет наименьшей.

Провести анализ задач с использованием графического метода.

20.9. L() = x1 + x2 → max (min) при ограничениях:

20.10. Фирма выпускает изделия двух типов: А и В. При этом используется сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы продукции и запасы сырья заданы в табл 20.3.

Запасы сырья 1-го вида составляют 21 ед., 2-го вида — 4 ед., 3-го вида — 6 ед. и 4-го вида — 10 ед. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 300 р., одного изделия типа В — 200р.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход.

20.11. Обработка деталей А и В может производиться на трех станках, причем каждая деталь должна последовательно обрабатываться на каждом из станков. Прибыль от реализации детали А — 100 р., детали В — 160 р. Исходные данные приведены в табл. 20.4.

Определить производственную программу, максимизирующую прибыль при условии: спрос на деталь А — не менее 300 шт., на деталь В — не более 200 шт.

  Тогда по теореме Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f¢(e)(x2 – x1), x1 < e < x2

По условию f¢(e)>0, следовательно, f(x2) – f(x1) >0, т.е. функция f(x) возрастает.

Теорема доказана.

 Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)£0 на этом отрезке. Если f¢(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

 Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

 Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:

Симплексный метод Метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования, записанную в каноническом виде. Идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) заключается в том, что начиная с некоторого исходного опорного решения осуществляется последовательно направленное перемещение по опорным решениям задачи к оптимальному. Значение целевой функции при этом перемещении для задач на максимум не убывает. Так как число опорных решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное опорное решение. Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.

Двойственность в линейном программировании Произвольную задачу линейного программирования можно определенным образом сопоставить с другой задачей линейного программирования, называемой двойственной. Первоначальная задача является исходной. Эти две задачи тесно связаны между собой и образуют единую двойственную пару.

Решение двойственных задач

Экономический анализ задач с использованием теории двойственности Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель

Разложение функций в степенные ряды.

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора).

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.

Пример. Разложить в ряд функцию .

 Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов.

Если применить к той же функции формулу Маклорена

,

то получаем:

 

 

 ……………………………….

 

Итого, получаем:

 Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

 Находим дифференциал функции  и интегрируем его в пределах от 0 до х.


Элементы системы массового обслуживания