Интернет-магазин электроники и бытовой техники

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Китайские косметические средства

Китайская народная медицина

Копии смартфонов

Духи от Dior

Стильные браслеты с уникальным дизайном

Термос Bullet

Часы Hublot механические

Гироскутер SmartWay

Женский Интим-гель

Нужен оригинальный подарок? Закажи

Элементы линейного программирования Параметрическое линейное программирование

Высшая математика в экономике

Сетевые модели

До появления сетевых методов планирование работ, проектов осуществлялось в небольшом объеме. Наиболее известным средством такого планирования был ленточный график Ганта, недостаток которого состоит в том, что он не позволяет установить зависимости между различными операциями.

Современное сетевое планирование начинается с разбиения программы работ на операции. Определяются оценки продолжительности операций, и строится сетевая модель (график). Построение сетевой модели позволяет проанализировать все операции и внести улучшения в структуру модели до начала ее реализации. Строится календарный график, определяющий начало и окончание каждой операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Календарный график выявляет критические операции, которым надо уделять особое внимание, чтобы закончить все работы в директивный срок. Что касается некритических операций, то календарный план позволяет определить резервы времени, которые можно выгодно использовать при задержке выполнения работ или эффективном применении как трудовых, так и финансовых ресурсов.

Основные понятия сетевой модели

Сетевая модель — графическое изображение плана выполнения комплекса работ, состоящего из нитей (работ) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций. В основе сетевого моделирования лежит изображение планируемого комплекса работ в виде графа. Граф — схема, состоящая из заданных точек (вершин), соединенных системой линий. Отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами (дугами) графа. Ориентированным называется такой граф, на котором стрелкой указаны направления всех его ребер (дуг), что позволяет определить, какая из двух его граничных вершин является начальной, а какая — конечной. Исследование таких сетей проводится методами теории графов.

Теория графов оперирует понятием пути, объединяющим последовательность взаимосвязанных ребер. Контур означает такой путь, у которого начальная вершина совпадает с конечной. Сетевой график — это ориентированный граф без контуров. В сетевом моделировании имеются два основных элемента — работа и событие.

Работа — это активный процесс, требующий затрат ресурсов, либо пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата. Найти ФСР ОЛДУ . Записать общее решение. По НУ: выделить частное решение.

Фиктивная работа — это связь между результатами работ (событиями), не требующая затрат времени и ресурсов.

Событие — это результат (промежуточный или конечный) выполнения одной или нескольких предшествующих работ.

Путь — это любая непрерывная последовательность (цепь) работ и событий.

Критический путь — это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса. Работы, расположенные на критическом пути, называют критическими. Все остальные работы являются некритическими (ненапряженными) и обладают резервами времени, которые позволяют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.

При построении сетевых моделей необходимо соблюдать следующие правила.

1. Сеть изображается слева направо, и каждое событие с большим порядковым номером изображается правее предыдущего. Общее направление стрелок, изображающих работы, также в основном должно быть расположено слева направо, при этом каждая работа должна выходить из события с меньшим номером и входить в событие с большим номером.

2. Два соседних события могут объединяться лишь одной работой. Для изображения параллельных работ вводятся промежуточное событие и фиктивная работа (рис. 30.1).

3. В сети не должно быть тупиков, т.е. промежуточных событий, из которых не выходит ни одна работа (рис. 30.2).

4. В сети не должно быть промежуточных событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (рис. 30.3).

5. В сети не должно быть замкнутых контуров, состоящих из взаимосвязанных работ, создающих замкнутую цепь (рис. 30.4). Для правильной нумерации событий поступают следующим образом: нумерация событий начинается с исходного события, которому дается номер 1. Из исходного события 1 вычеркивают все исходящие из него работы, на оставшейся сети вновь находят событие, в которое не входит ни одна работа. Этому событию дается номер 2. Затем вычеркивают работы, выходящие из события 2, и вновь находят на оставшейся части сети событие, в которое не входит ни одна работа, ему присваивается номер 3, и так продолжается до завершающего события. Пример нумерации сетевого графика показан на рис. 30.5.

Продолжительность выполнения работ устанавливается на основании действующих нормативов или по экспертным оценкам специалистов. В первом случае временные оценки являются детерминированными (однозначными), во втором — стохастическими (вероятностными).

Рассмотрим в качестве примера программу создания нового бытового прибора, пользующегося спросом у населения. Необходимые данные приведены в табл. 30.1.

На основании данных таблицы построим сетевой график создания прибора с учетом вышеизложенных рекомендаций (рис. 30.6).

Расчет временных параметров сетевого графика

Основным временным параметром сетевого графика является продолжительность критического пути.

Расчет критического пути включает два этапа. Первый называется прямым проходом. Вычисления начинают с исходного события и продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто завершающее событие. Для каждого события определяется одно число, представляющее ранний срок его наступления. На втором этапе, называемом обратным проходом, вычисления начинают с завершающего события и продолжают, пока не будет достигнуто исходное событие. Для каждого события вычисляется поздний срок его наступления.

Рассмотрим прямой проход:

tiр.н. — ранний срок начала всех операций, выходящих из события i.

Если i = 0, то t0р.н. = 0;

tjр.н. — ранний срок начала всех операций, входящих в j.

Тогда

где tij — продолжительность операции (i,j);

Прямой проход закончился, начинаем обратный:

tiп.o — поздний срок окончания всех операций, входящих в событие i.

Если i = п, где п — завершающее событие сети, то tnп.o = tnр.н. и является отправной точкой обратного прохода;

tiп.о  =  (tjп.о - ti,j) для всех операций (i,j);

Используя результаты вычислений при прямом и обратном проходах, можно определить операции критического пути. Операция (i, j) принадлежит критическому пути, если она удовлетворяет условиям:

Для рассматриваемого примера критический путь включает операции (0,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6).

Операции связаны еще с двумя сроками:

tijп.н. — поздний срок начала работы. Он является наиболее поздним (максимальным) из допустимых моментов начала данной работы, при котором еще возможно выполнение всех последующих работ в установленный срок:

tijр.o — ранний срок окончания работы. Он является наиболее ранним (минимальным) из возможных моментов окончания работы при заданной продолжительности работ:

Различают два вида резервов времени: полный резерв (rп) и свободный резерв (rсв).

Полный резерв времени показывает, на сколько может быть увеличена сумма продолжительности всех работ относительно критического пути. Он представляет собой разность между максимальным отрезком времени, в течение которого может быть выполнена операция, и ее продолжительностью (tij) и определяется как

Свободный резерв времени — максимальное время, на которое можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы при условии, что все события наступают в ранние сроки:

Результаты расчета критического пути и резервов времени некритических операций представлены в нижеследующей таблице. Следует отметить, что критические операции должны иметь нулевой полный резерв времени, при этом свободный резерв также должен быть равен нулю.

Построение сетевого графика и распределение ресурсов

Конечным результатом выполняемых на сетевой модели расчетов является сетевой график (план). При построении сетевого графика необходимо учитывать наличие ресурсов, так как одновременное выполнение некоторых операций из-за ограничений, связанных с рабочей силой, оборудованием и другими видами ресурсов, иногда оказывается невозможным. Именно в этом отношении представляют ценность полные резервы времени некритических операций.

Сдвигая некритическую операцию в том или ином направлении, но в пределах ее полного резерва времени, можно добиться снижения максимальной потребности в ресурсах. Оданако даже при отсутствии ограничений на ресурсы полные резервы времени обычно используются для выравнивания потребностей в ресурсах на протяжении всего срока реализации программы работ. Это означает, что работы удастся выполнить более или менее постоянным составом рабочей силы.

На рис. 30.8 показана потребность в рабочей силе при условии выбора в качестве календарных сроков некритических операций начала их ранних сроков, на рис. 30.9 — потребность в рабочей силе при выборе наиболее поздних сроков.

Пунктирной линией представлена потребность критических операций, которая должна быть удовлетворена, если нужно выполнить все работы в минимально возможный срок.

Оптимальное решение задачи равномерного использования ресурсов (минимизация максимальной потребности в ресурсах) представлено на рис. 30.10, уточненный график выполнения работ указан на рис. 30.11.

Учет стоимостных факторов при реализации сетевого графика

Стоимостные факторы при реализации сетевого графика учитываются путем определения зависимости "затраты-продолжительность" для каждой операции. При этом рассматриваются прямые затраты, а косвенные типа административных или управленческих расходов не принимаются во внимание.

На рис. 30.12 показана линейная зависимость стоимости операции от ее продолжительности. Точка (DB, СB), где DB — продолжительность операции, а СB — ее стоимость, соответствует нормальному режиму выполнения операции. Продолжительность операции можно уменьшить (сжать), увеличив интенсивность использования ресурсов, а следовательно, увеличив стоимость операции. Однако существует предел, называемый минимальной продолжительностью операции. За точкой, соответствующей этому пределу (точка максимально интенсивного режима), дальнейшее увеличение интенсивности использования ресурсов ведет лишь к увеличению затрат без сокращения продолжительности операции. Этот предел обозначен на рис. 30.12 точкой А с координатами (DA,СA).

Линейная зависимость "затраты-продолжительность" принимается из соображений удобства, так как ее можно определить для любой операции по двум точкам нормального и максимально интенсивного режимов, т.е. по точкам А и В.

Использование нелинейной зависимости "затраты-продолжительность" существенно усложняет вычисления. Поэтому иногда нелинейную зависимость можно аппроксимировать кусочно-линейной (рис. 30.13), когда операция разбивается на части, каждая из которых соответствует одному линейному отрезку. Следует отметить, что наклоны этих отрезков при переходе от точки нормального режима к точке максимально интенсивного режима возрастают. Если это условие не выполняется, то аппроксимация не имеет смысла.

Определив зависимость "затраты-продолжительность", для всех операций сети принимают нормальную продолжительность. Далее рассчитывается сумма затрат на все операции сети при этой продолжительности работ. На следующем этапе рассматривается возможность сокращения продолжительности работ. Этого можно достичь за счет уменьшения продолжительности какой-либо критической операции, только критические операции и следует подвергать анализу.

Чтобы добиться сокращения продолжительности выполнения работ при минимально возможных затратах, необходимо в максимально допустимой степени сжать ту критическую операцию, у которой наклон кривой "затраты-продолжительность" наименьший. В результате сжатия критической операции получают новый календарный график, возможно, с новым критическим путем. Стоимость работ при новом календарном графике будет выше стоимости работ по предшествующему графику. На следующем этапе этот новый график вновь подвергается сжатию за счет следующей критической операции с минимальным наклоном кривой "затраты-продолжительность" при условии, что продолжительность этой операции не достигла минимального значения. Подобная процедура повторяется, пока все критические операции не будут находиться в режиме максимальной интенсивности. Полученный таким образом оптимальный календарный график соответствует минимуму прямых затрат.

Обоснование привлекательности проекта по выпуску продукции

Для финансирования проектов по строительству и наладке изготовления конкурентоспособной продукции в большинстве случаев фирмам требуются инвестиции. Включение в проект материалов с оптимизацией сетевых моделей в части обоснования сроков возврата инвестиций делает проект более привлекательным и способствует принятию инвестором положительного решения.

Пример 1. Предприятие решило для улучшения финансового состояния наладить выпуск конкурентоспособной продукции (мороженого). Для переоборудования цеха (участка) под выпуск этой продукции необходимо выполнить:

1) подготовку технического задания на переоборудование участка (30 дн.);

2) заказ и поставку нового оборудования (60 дн.);

3) заказ и поставку нового электрооборудования (50 дн.);

4) демонтаж старого и установку нового оборудования (90 дн.);

5) демонтаж старого и установку нового электрооборудования (80 дн.);

6) переобучение персонала (30 дн.);

7) испытания и сдачу в эксплуатацию оборудования для производства мороженого (20 дн.).

Ожидается, что производительность после ввода новой линии составит 20 т мороженого в смену. Прибыль от реализации 1 т продукции составит 0,5 тыс. р. в смену. Деньги на покупку и переоборудование участка в размере 2000 тыс. р. взяты в банке под 20% годовых (из расчета 1500 тыс. р. на закупку оборудования и 500 тыс. р. на работы по демонтажу старого оборудования и установке нового оборудования). Затраты на проведение работ в нормальном и максимальном режимах указаны в табл. 30.3.

Определить, через какое время может быть возвращен кредит в банк.

Решение. 1. Составим график проведения работ по пуску новой линии:

На проведение переоборудования необходимо

2. График можно улучшить, выполняя некоторые работы параллельно. Получим график (рис. 30. 14).

На этом графике обозначены работы:

0,1 — подготовка технического задания;

1,2 — заказ и поставка нового оборудования;

1,3 — заказ и поставка нового электрооборудования;

2,4 — установка нового оборудования;

3,4 — установка нового электрооборудования;

1,4 — переобучение персонала;

4,5 — сдача в эксплуатацию новой линии.

По графику путь (0,1), (1,2), (2,4), (4,5) имеет продолжительность 200 дн.; (0,1), (1,3), (3,4), (4,5) — 180 дн.; (0,1), (1,4),(4,5) - 80дн.

Критическим путем графика является путь, на котором находятся работы (0,1), (1,2), (2,4), (4,5) продолжительностью

30 + 60 + 90 + 20 = 200 дн.

График улучшился на 360 — 200 = 160 дн.

Определим, через какое время после начала выпуска мороженого может быть возвращен кредит в банк.

Через 200 дн. после начала работ предприятие истратит 1 500 тыс. р. на приобретение оборудования (согласно условию примера) и 265 тыс. р. на его установку и сдачу в эксплуатацию (см. табл. 30.3, столбец "Затраты" при нормальном режиме). В наличии у предприятия останется

2 000 - 1500 - 265 = 235 тыс. р.

Построим графики изменения кредита в зависимости от времени получения прибыли предприятием — от выпуска мороженого (рис. 30.15).

Для построения графика изменения кредита в зависимости от времени составим уравнение. Через 360 дн. после выдачи банком кредита под 20% годовых долг предприятия составит 2 400 тыс. р. Поэтому известны две точки этой прямой: А (0, 2000), B (360, 2400). Согласно уравнению прямой, проходящей через две точки:

Решая уравнение, получим

Найдем уравнение прибыли предприятия. Известно, что через 200 дн. после начала работ у предприятия осталось от кредита 235 тыс. р. Через 100 дн. после начала выпуска продукции предприятие получит прибыль

и у него будет в наличии

Таким образом, для нахождения уравнения прибыли имеем две точки: С (200, 235), D (300, 1235). Тогда

Решая совместно уравнения (30.1) и (30.2), определим время, когда кредит может быть возвращен в банк:

Откуда получаем у = 2471, х = 423,6 ≈ 424 дн.

3. График выполнения работ может быть сжат за счет выполнения некоторых операций в максимально интенсивном режиме.

Вычислим наклоны кривой "затраты-продолжительность" для каждой операции. Результаты расчетов даны в табл. 30.4.

Учитывая наклоны кривой, производим сжатие операций (0,1), (2,4), (3,4), (4,5), получим сетевой график (рис. 30.16).

Новый график имеет 2 критических пути: (0,1), (1,2), (2,4), (4,5) и (0,1), (1,3), (3,4), (4,5) с продолжительностью 157 дн.

Таким образом, критический путь сокращен с 200 до 157 дн., а это означает, что предприятие начнет производить мороженое через 157 дн. после начала работ.

Определим, сколько предприятию придется заплатить за "сжатие" критического пути (см. табл. 30.3):

Таким образом, "сжатие" работ (0,1), (1,2), (2,4), (3,4), (4,5) обойдется предприятию в

График изменения кредита в зависимости от времени остается прежним (см. рис. 30.15). Его вид определяет уравнение

Найдем уравнение прибыли.

Через 157 дн. после начала работ у предприятия осталось от кредита

Через 100 дн. после начала выпуска продукции предприятие получит прибыль

и у него будет в наличии

Таким образом, для нахождения уравнения прибыли предприятия имеем две точки:

Согласно уравнению прямой, проходящей через 2 точки, получим

Решая совместно уравнения (30.1) и (30.3), определим время, когда кредит может быть возвращен в банк:

Таким образом, через 384 дн. предприятие может вернуть кредит в банк. По сравнению с предыдущим случаем (см. п. 2) предприятие вернет в банк деньги раньше на 424 — 384 = 40 дн.

При нормальном режиме работ критический путь составляет 200 дн., стоимость работ — 265 тыс. р.

Критический путь уменьшен до 157 дн., минимальная стоимость работ составляет 265 + 75 = 340 тыс. р. при максимальном режиме.

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл .

 Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Минимизация сети

Принятие решений и элементы планирования Основные понятия теории игр В экономике иногда приходится сталкиваться с ситуацией, когда при наличии многих участников эффективность решения одного из них зависит от того, какие решения приняли другие участники. Например, доход предприятия от продажи изделия зависит не только от установленной на него цены, но и от количества купленных покупателем изделий. Или при выборе ассортимента товаров, выпускаемых предприятием, нужно учитывать, какой ассортимент товаров выпускают другие предприятия.

Решение игр (aij)mxn с помощью линейного программирования Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, задача линейного программирования может быть представлена как игра.

Игры с "природой" В рассмотренных выше матричных играх предполагалось, что в них принимают участие два игрока, интересы которых противоположны. Поэтому действия каждого игрока направлены на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша). Однако в некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.д.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.

"Дерево" решений Примеры, которые мы рассматривали до сих пор, включали получение единого решения. Однако на практике результат одного решения приводит к необходимости принятия следующего решения и т.д. Эту последовательность принятия решений нельзя выразить таблицей доходов, поэтому приходится использовать другой алгоритм принятия управленческих решений. Графически подобные процессы могут быть представлены с помощью "дерева" решений. Такое представление облегчает описание многоэтапного процесса принятия управленческого решения в целом. Рассмотрим "дерево" решений, которое применяют тогда, когда нужно принять несколько взаимосвязанных решений в условиях неопределенности в случае принятия решения, зависящего от исхода предыдущего или исходов испытаний.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Так как   всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что общегармонический ряд  при a=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

 Пример. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке [-1,1] выполняется неравенство  т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-µ, -1) È (1, µ) расходится

Свойства равномерно сходящихся рядов.

 1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

 Если члены ряда  - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].


Элементы системы массового обслуживания