Математический анализ Понятие дифференциала функции

Высшая математика в экономике

Линии второго порядка

Рассмотрим здесь три наиболее используемыx вида линий: эллипс, гиперболу и параболу.

1. Эллипс. Линия, для всех точек которой сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами, называется эллипсом. Аппарат дифференциальных уравнений в экономике В этой главе мы рассмотрим некоторые примеры применения теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики, где независимой переменной является время t. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономической динамики.

Согласно определению эллипса, сумма расстояний от произвольной точки М на этой линии до его фокусов F1 и F2 постоянна (рис. 3.12): 

Рис. 3.12

Отсюда можно вывести уравнение эллипса в его основной (канонической) форме:

где а и b — полуоси эллипса, b2 = а2 — с2, точка O (0,0) — центр эллипса, с — половина расстояния между фокусами эллипса. Из уравнения (3.13) следует, что оси эллипса являются его осями симметрии, а точка их пересечения — центром его симметрии.

В частном случае, когда a = b, фокусы эллипса сливаются, т.е. с = 0, и мы имеем окружность радиуса а с центром в начале координат. Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет — величина, определяемая отношением

2. Гипербола. Гиперболой называется линия, для всех точек которой модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

На рис. 3.13 показаны все основные элементы гиперболы. Разность расстояний от произвольной точки М на гиперболе до фокусов F1 и F2, согласно определению, есть величина постоянная:

Из этой основной предпосылки выводится каноническое уравнение гиперболы, которое имеет вид

где b2 = с2 — а2.

Нетрудно видеть, что прямые у = ±х являются наклонными асимптотами гиперболы. Линия (3.14) имеет две оси симметрии, точка пересечения которых является центром симметрии гиперболы.

3. Парабола. Параболой называется линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Согласно определению, точка М(х, у) лежит на параболе, если r1 = r2. Отсюда и выводится каноническое уравнение параболы, которое имеет вид

График параболы (3.15) показан на рис. 3.14. Нетрудно видеть, что перемена осей координат приводит к более привычному уравнению параболы вида у = Ах2, где А — постоянное число.

Рис. 3.14

УПРАЖНЕНИЯ

Найти области определения функций, заданных следующими формулами.

3.1. у = 3x - 2. 3.2. у = х2 – 5x + 6. 3.3. . 3.4. . 3.5. . 3.6. . 3.7. . 3.8. . 3.9. . 3.10. . 3.11. . 3.12. . 3.13. . 3.14. .

3.15. f(x) = x2 + x – 2, найти f(0), f(1), f(-3). 3.16. f(x) = arccos (lg x), найти f(1/10), f(1), f(10). 3.17. .

3.18. Спрос и предложение на некоторый товар на рынке описываются линейными зависимостями вида

1) Определить равновесную цену; 2) установить графическим способом, является ли модель паутинного рынка "скручивающейся". Варианты задания параметров зависимостей спроса и предложения:

а) а = 19, b = 2, с = 3, d = 2; б) а = 15, b = 3, с = 1, d = 4; в) а = 11, b = 3, с = 3, d = 1; г) а = 23, b = 3, с = 5, d = 6.

Найти пределы.

3.19. . 3.20. . 3.21. . 3.22. . 3.23. . 3.24. . 3.25. . 3.26. . 3.27. . 3.28. . 3.29. . 3.30. . 3.31. . 3.32. . 3.33. .

Найти точки разрыва функций и определить типы разрывов.

3.34. . 3.35. . 3.36. . 3.37. . 3.38. . 3.39. . 3.40. .

Формула Маклорена.

Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.

 Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

  Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

 Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.

 Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.

 Кроме того, можно показать, что остаточный член Rn+1(x) является бесконечно малой функцией при х®а, причем долее высокого порядка, чем (х – а)m, т.е.

.

  Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.

Теорема о почленном интегрировании ряда.

 Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

  3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

 Если члены ряда  сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

  На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.


Основные правила интегрирования