Интернет-магазин электроники и бытовой техники

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Китайские косметические средства

Китайская народная медицина

Копии смартфонов

Духи от Dior

Стильные браслеты с уникальным дизайном

Термос Bullet

Часы Hublot механические

Гироскутер SmartWay

Женский Интим-гель

Нужен оригинальный подарок? Закажи

Элементы линейного программирования Параметрическое линейное программирование

Высшая математика в экономике

Элементы системы массового обслуживания

Формулировка задачи и характеристики СМО

Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет то обстоятельство, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).

Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслужинания тем выше, чем больше число обслуживающих единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.

В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д. Вычисление двойных интегралов ПРИМЕР. Вычислить двойной интеграл , где область ограничена эллипсом .

Основными элементами СМО являются источники заявок, их входящий поток, каналы обслуживания и выходящий поток. Схематически это изображено на рис. 32.1.

В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:

системы с отказами, в которых при занятости всех каналов обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной;

системы с неограниченными ожиданиями, в которых заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты.

Существуют и системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.

По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные.

В зависимости от расположения источника требований системы могут быть разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми (источник находится в самой системе) .

Рассмотрим в отдельности элементы СМО.

Входящий поток: на практике наиболее распространенным является простейший поток заявок, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований (заявок) в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка.

Ординарность потока определяется невозможностью одновременного появления двух или более заявок.

Отсутствие последействия характеризуется тем, что поступление заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента. В этом случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t, равно k, определяется по закону Пуассона

где λ — интенсивность потока заявок, т.е. среднее число заявок в единицу времени:

где  — среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками.

Для такого потока заявок время между двумя соседними заявками распределено экспоненциально с плотностью вероятности

Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания считают распределенным экспоненциально:

где v — интенсивность движения очереди, т.е. среднее число заявок, приходящих на обслуживание в единицу времени:

где оч — среднее значение времени ожидания в очереди.

Выходящий поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания обc является случайной величиной и часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью

где μ — интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени:

где обс — среднее время обслуживания.

Важной характеристикой СМО, объединяющей λ и μ, является интенсивность нагрузки

Рассмотрим n-канальные разомкнутые СМО.

СМО с отказами

Основные понятия

Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему необслуженной. Показателем качества обслуживания выступает вероятность получения отказа. Предполагается, что все каналы доступны в равной степени всем заявкам, входящий поток является простейшим, длительность (время) обслуживания одной заявки (tобс) распределена по показательному закону.

Формулы для расчета установившегося режима

1. Вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок (k = 0):

2. Вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми (k = п):

3. Вероятность обслуживания:

Pобс = 1 - Pотк.

4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

5. Доля каналов, занятых обслуживанием:

6. Абсолютная пропускная способность СМО:

  Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x). Тогда:

f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)

Теорема доказана.

 

 Рассмотрим подробнее величину Rn+1(x).

  y Как видно на рисунке, в

 точке х = а значение мно-

 f(x) Rn+1(x)  гочлена в точности совпа-

 дает со значением функции.

 Pn(x) Однако, при удалении от точ-

 ки х = а расхождение значе- ний увеличивается. 

  0 a x x

 Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т.к. точка eÎ(a, x), то найдется такое число q из интервала 0 < q < 1, что e = a + q(x – a).

 Тогда можно записать:

Тогда, если принять a = x0, x – a = Dx, x = x0 + Dx, формулу Тейлора можно записать в виде:

где 0 < q < 1

 Если принять n =0, получим: f(x0 + Dx) – f(x0) = f¢(x0 + qDx)×Dx – это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик и механик).

 Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.

 При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.

СМО с неограниченным ожиданием

Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания

Некоторые модели управления запасами Предприятия, фирмы имеют различные запасы: сырье, комплектующие изделия, готовую продукцию, предназначенную для продажи, и т.д. Совокупность подобных материалов, представляющих временно не используемые экономические ресурсы, называют запасами предприятия.

Модель производственных запасов В основной модели предполагали, что поступление товаров на склад происходит мгновенно, например в течение одного дня. Рассмотрим случай, когда готовые товары поступают на склад непосредственно с производственной линии. Будем считать, что поступление товаров происходит непрерывно. Модель задачи в этом случае называют моделью производственных поставок. Обозначим через р скорость поступающего на склад товара. Эта величина равна количеству товаров, выпускаемых производственной линией за год. Остальные обозначения и предположения те же, что и для основной модели управления запасами.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

 Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер N(e), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

 Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

 Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

т.е. имеет место неравенство:

.

  Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд   мажорируется числовым рядом .


Элементы системы массового обслуживания