Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой ,
.
Р е ш е н и е. Для построения кривой учтем, что она симметрична относительно
осей координат. Действительно, если заменить на
то переменная
не меняется, а
изменяет только свой знак; следовательно, кривая симметрична
относительно оси
. При замене же
на
переменная
не меняется, а
изменяет только свой знак. Это значит, что кривая симметрична
относительно оси
. Далее, так как функции
;
имеют общий период
, то достаточно ограничится следующим отрезком изменения
параметра:
. Из уравнений кривой
легко заключить, что переменные
и
одновременно сохраняют неотрицательные
значения только при изменении параметра
на отрезке
поэтому при
получается часть кривой, лежащая в первой четверти. Общий
вид кривой изображен на рис.2.1. Как видно из этого рисунка, достаточно вычислить
площадь одной петли кривой, соответствующей изменению параметра
от
до
, и затем удвоить результат