Площадь в полярных координатах

Пример. Найти площадь фигуры, лежащей  вне круга  и огра­ниченной кривой  .             

    Р е ш е н и е. Так как функция  имеет период , то при изменении  от  до  радиус-вектор описывает три рав­ных лепестка кривой. При  этом допустимыми для  являются те значения, при которых , откуда Следовательно, один из лепестков опи­сывается при изменении  от  до . Остальные два лепестка полу­чаются при изменении   от  до  и от  до  соответственно (рис. 3.2). Вырезая из лепестков части, принадлежащие кругу , мы полу­чим фигуру, площадь которой нужно определить. Ясно, что искомая площадь равна утроенной площади Найдем полярные координаты точек пересечения М и N. Для этого  решим уравнение  т.е. . Между  и  находятся  только корни  и . . Таким образом, точке N соответствует полярный угол , точке М — угол .Далее из рисунка заключаем, что

На главную