Пример. Найти площадь фигуры, лежащей
вне круга и ограниченной кривой
.
Р е ш е н и е. Так как функция имеет период
, то при изменении
от
до
радиус-вектор описывает три равных лепестка кривой. При
этом допустимыми для
являются те значения, при которых
, откуда
Следовательно,
один из лепестков описывается при изменении
от
до
. Остальные два лепестка получаются при изменении
от
до
и от
до
соответственно (рис. 3.2). Вырезая из лепестков части, принадлежащие
кругу
, мы получим фигуру, площадь
которой нужно определить. Ясно, что искомая площадь равна утроенной площади
Найдем полярные координаты точек пересечения М и N. Для этого
решим уравнение
т.е.
. Между
и
находятся
только корни
и
.
. Таким образом, точке N соответствует полярный угол
,
точке М — угол
.Далее из рисунка заключаем, что