Решение. Перейдем к полярным координатам по обычным формулам
, .Тогда заданное уравнение перепишется в виде,или
01
12
. Из
этого уравнения вытекает, во-первых, что при и при и, во-вторых, при и . Последнее
означает, что декартов лист имеет асимптоту, уравнение которой можно найти обычным образом в декартовых
координатах.Следовательно, петля декартова листа описывается при изменении
от 0 до и лежит в первой четверти (рис.3.5).Таким образом,
искомая площадь равна . Пользуясь симметрией кривой относительно
биссектрисы , т, е. относительно луча , мы можем вычислить площадь половины
петли (от до ) и затем удвоить ее. Это позволит воспользоваться
заменой
0
01
,
, что дает.
Новая замена, , приводит к интегралу.
На главную