Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Тройные интегралы в сферических координатах

Пример Найти тройной интеграл где область U ограничена эллипсоидом

Решение. Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным сферическим координатам путем следующей замены переменных: Модуль якобиана данного преобразования равен |I| = abcρ2sin θ. Поэтому для дифференциалов справедливо соотношение В новых координатах интеграл принимает вид: В данной системе координат область интегрирования U' (являющаяся эллипсоидом) определяется неравенствами Тогда тройной интеграл становится равным

 Пример.

 

 Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль.

Таким образом: 

3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1).

Тогда:

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

 

Окончательно получаем:

  =


На главную