Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Криволинейные интегралы первого рода

Определение Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1). Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.
Рис.1
Рис.2
Свойства криволинейного интеграла первого рода Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:
  1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;
  2. Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1 U C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение
  3. Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то
  4. Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением , то
  5. Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением , то
  6. В полярных координатах интеграл выражается формулой где кривая C задана в полярных координатах функцией .
  7. Случай с переменным верхним пределом.

    Теорема о непрерывности.

    Пусть функция  непрерывна;

    - непрерывны

    *-непрерывна.

    Доказательство:

    , где

     

    * бесконечно малая, а величина - ограниченная.

На главную