На главнуюФизические приложения двойных интегралов
Масса и статические моменты пластины Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна. Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде
Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой
Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy :
Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости Oxy с плотностью, распределенной по закону
, описываются формулами
Для однородной пластины с плотностью
для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом. Моменты инерции пластины Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой
Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy :
Полярный момент инерции пластины равен
Заряд пластины Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией
. Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением
Среднее значение функции Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости Oxy. Среднее значение функции μ функции f (x,y) в области R определяется формулой
![]()
где
− площадь области интегрирования R.
Если поверхность ограниченная, гладкая, полная, не имеет особых точек, эта поверхность задана параметрически x=x(U,V), y=y(U,V), z=z(U,V)
В этом случае такая поверхность заведомо квадрируема и площадь этой поверхности равна
![]()
![]()
По определению
поверхности кусочков касательных плоскостей
если поверхность является гладкой, возьмем две нормали, находящиеся рядом, направляющие cos этих нормалей должны меняться гладко