Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Физические приложения криволинейных интегралов

Пример Вычислить индукцию магнитного поля в вакууме на расстоянии r от оси бесконечно длинного проводника с током I.

Решение. Чтобы найти магнитное поле на расстонии r от проводника, рассмотрим круговой контур радиуса r, расположенный перпендикулярно проводнику с током (рисунок 7). Поскольку поле направлено по касательной к круговому контуру в любой его точке, то скалярное произведение векторов и есть просто . Тогда можно записать В результате получаем

Пример 8 Оценить значение электродвижущей силы ε и электрического поля E, возникающих в кольце радиусом 1 см у пассажира самолета, при полете самолета в магнитном поле Земли со скоростью 900 км/ч.

Решение. Согласно закону Фарадея Поскольку проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли, возникает изменение магнитного потока ψ, проходящего через кольцо. Предположим, что магнитное поле перпендикулярно плоскости кольца. Тогда за время изменение потока равно где , v − скорость самолета, B − индукция магнитного поля Земли. Из последнего выражения получаем Подставляя заданные величины находим значение э.д.с.: Как видно, это вполне безопасно для авиапассажиров. Напряженность возникающего электрического поля найдем по формуле . В силу симметрии, наведенное электрическое поле будет иметь постоянную амплитуду в любой точке кольца. Оно будет направлено по касательной к кольцу в любой его точке. Это позволяет легко вычислить криволинейный интеграл. Следовательно, напряженность электрического поля равна

1) линейность

  Если вместо P возьмем линейную функцию (f+g), то интеграл будет линейной комбинаций.

Примечание  определение поверхности второго интеграла второго рода было дано, когда ориентация поверхности такова, что выбранная нормаль к поверхности составляет острый угол с положительным направлением оси OZ.

В случае, если этот угол тупой все пределы интегрирования сумм Дарбу должны быть взяты со знаком «минус».

2) аддитивность

  поверхностный интеграл второго рода по поверхности, являющейся суммой двух поверхностей, которые одинаково ориентированы и имеют общую границу площади О равную сумме поверхностных интегралов второго рода по каждой из поверхностей.

3) при изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.

4) для поверхностного интеграла второго рода не выполняется теорема о среднем.

Любой поверхностный интеграл второго рода есть компонента ┴ поверхности умноженному на площадь.

Нормаль единичная и задана направляющими косинусами:

На главную