Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.

Решение. В условиях гидростатического равновесия давление на поверхность дамбы зависит от координаты z в соответствии с формулой где ρ − плотность воды, g − ускорение свободного падения. Полная сила давления, действующая на плотину, будет равна Вектор показывает направление действия силы . Абсолютное значение силы равно

Пример Вязкая жидкость течет в цилиндрической трубе радиусом R со скоростью (м·с−1), где − единичный вектор, направленный вдоль оси трубы в сторону потока, r − расстояние от оси, C − некоторая константа (рисунок 7). Вычислить поток жидкости через поперечное сечение трубы.

Решение. Для определения потока жидкости необходимо вычислить поверхностный интеграл Так как векторы и сонаправлены, то поток равен Переходя к полярным координатам, получаем Последний интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Полагая можно записать Таким образом, поток жидкости равен
Рис.7
Рис.8

Пример Определить электрическое поле бесконечной пластины с однородно распределенным зарядом плотностью σ.

Решение. В силу симметрии системы вектор напряженности электрического поля должен быть перпендикулярен поверхности, а величина напряженности должна быть одинакова во всех точках, равноудаленных от пластины. Рассмотрим условную гауссовскую поверхность в форме цилиндра с поперечным сечением S и высотой 2H (рисунок 8). Поток электрического смещения отличен от нуля лишь на основаниях цилиндра. Следовательно, , где E − электрическое поле в основаниях цилиндра. Полный заряд внутри цилиндрической поверхности равен . Тогда по теореме Гаусса получаем

 


P(x,y,z(x,y))

 

 

 

  If Q=0

Следствие: Чему равен поток ротора через любую замкнутую поверхность

Div=0 => если нет источников, то =0.

  Общий поток =0, у зависимости нет ни ист., ни стоков.

1.     
 

2.       

Доказать можно любым способом, достаточно знать, что такое по определению rot, div, grad

 

На главную