Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Теорема Стокса

Пример Используя теорему Стокса, найти криволинейный интеграл . Кривая C представляет собой пересечение цилиндра и плоскости .

Решение. Обозначим через S часть плоскости, вырезаемую цилиндром. Пусть обход кривой C осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конечной точки вектора нормали , координаты которого равны Так как , то можно записать Далее, применяя формулу Стокса, находим Проекция поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиуса a. Поэтому, записывая уравнение плоскости в виде и используя формулу получаем

Вычисление двойных интегралов.

При вычислении двойного интеграла  элемент площади  нам удобно представить в ином виде. Будем разбивать область интегрирования D в плоскости Oxy на частичные области посредством двух систем координатных линий: x=const, y=const. Этими линиями служат прямые, параллельные соответственно оси Oy и оси Ox, а частичными областями - прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. Ясно, что площадь каждой частичной области   будет равна произведению соответствующих  и . Поэтому элемент площади  мы запишем в виде  т.е. элемент площади в декартовых координатах является произведением дифференциалов независимых переменных. Мы имеем

 .  (*)


На главную