Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Теорема Стокса

Пример Вычислить криволинейный интеграл , используя теорему Стокса. Кривая C имеет форму эллипса и определяется уравнениями (рисунок 2 выше).

Решение. Пусть поверхность S − это часть плоскости z = 1, ограниченная эллипсом. Очевидно, единичный вектор нормали к данной поверхности будет . Поскольку то ротор поля равен В соответствии с теоремой Стокса получаем Двойной интеграл в последней формуле равен площади эллипса. Поэтому интеграл равен

Пример Используя теорему Стокса, вычислить криволинейный интеграл . Кривая C представляет собой треугольник с вершинами A(2,0,0), B(0,2,0), D(0,0,2) (рисунок 3).

Решение. Пусть S будет плоскость треугольника ABD. Ориентация поверхности S и направление обхода контура C показаны ниже на рисунке 3. Определим сначала нормальный вектор : Тогда и, следовательно, В нашем случае , и ротор равен Применяя формулу Стокса, находим Здесь двойной интеграл равен площади треугольника ABD, которая составляет Таким образом, интеграл имеет значение
Рис.3
Рис.4

На главную