Поверхностные интегралы второго рода
Если поверхность S задана явно в виде уравнения z = z(x,y), где z(x,y) − дифференцируемая функция в области D(x,y), то поверхностный интеграл второго рода от векторного поля
по поверхности S записывается в одной из следующих форм:
Поверхностный интеграл второго рода можно записать также в координатной форме. Пусть P (x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) являются компонентами векторного поля
- Если поверхность S ориентирована внешней нормалью (k-компонент вектора нормали является положительным), то
![]()
- Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью (k-компонент вектора нормали является отрицательным), то
![]()
. Введем cos α, cos β, cos γ − направляющие косинусы внешней нормали
к поверхности S. Тогда скалярное произведение
равно
Следовательно, поверхностный интеграл можно записать в виде
Поскольку
(рисунок 1), и, аналогично,
, получаем следующую формулу для вычисления поверхностного интеграла II рода:
Если поверхность S задана в параметрической форме с помощью вектора
, то последняя формула принимает вид
где (u,v) изменяются в пределах области интегрирования D(u,v).
Если поверхность S не представима в явном или параметрическом виде, то ее можно попробовать разбить на конечное число частей, каждая из которых представима в таком виде. В этом случае справедливо свойство аддитивности: поверхностный интеграл второго рода по поверхности S будет равен сумме интегралов по ее частям.
Рис.1