Поверхностные интегралы второго рода

Пример Оценить поток векторного поля через коническую поверхность , ориентированную внешней стороной.

Решение. Поверхность конуса можно описать вектором : Область интегрирования D(x,y) представляет собой круг . Найдем векторный элемент площади , перпендикулярный поверхности и направленный во внешнюю сторону. Определим частные производные: Тогда и векторный элемент равен Векторное поле на поверхности конуса можно записать в виде Отсюда следует, что поток векторного поля через поверхность S (или, другими словами, поверхностный интеграл II рода) равен Значение последнего интеграла легко вычисляется в полярных координатах.

Пример. Вычислить поверхность  сферы

 

Решение. Вычислим поверхность верхней половины сферы  (рис.22). В этом случае

Следовательно, подынтегральная функция примет вид

Область интегрирования определяется условием . Таким образом, на основании формулы (4) будем иметь

Для вычисления полученного двойного интеграла перейдём к полярным координатам. В полярных координатах граница области интегрирования определяется уравнением   Следовательно,