Поверхностные интегралы второго рода
Пример Оценить поток векторного поля
Решение. Поверхность конуса можно описать векторомчерез коническую поверхность
, ориентированную внешней стороной.
:
Область интегрирования D(x,y) представляет собой круг
. Найдем векторный элемент площади
, перпендикулярный поверхности и направленный во внешнюю сторону. Определим частные производные:
Тогда
и векторный элемент равен
Векторное поле
на поверхности конуса можно записать в виде
Отсюда следует, что поток векторного поля через поверхность S (или, другими словами, поверхностный интеграл II рода) равен
Значение последнего интеграла легко вычисляется в полярных координатах.
![]()
Пример. Вычислить поверхность
сферы
Решение. Вычислим поверхность верхней половины сферы
(рис.22). В этом случае
Следовательно, подынтегральная функция примет вид
Область интегрирования определяется условием
. Таким образом, на основании формулы (4) будем иметь
Для вычисления полученного двойного интеграла перейдём к полярным координатам. В полярных координатах граница области интегрирования определяется уравнением
Следовательно,