Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Поверхностные интегралы второго рода

Пример Оценить поток векторного поля через коническую поверхность , ориентированную внешней стороной.

Решение. Поверхность конуса можно описать вектором : Область интегрирования D(x,y) представляет собой круг . Найдем векторный элемент площади , перпендикулярный поверхности и направленный во внешнюю сторону. Определим частные производные: Тогда и векторный элемент равен Векторное поле на поверхности конуса можно записать в виде Отсюда следует, что поток векторного поля через поверхность S (или, другими словами, поверхностный интеграл II рода) равен Значение последнего интеграла легко вычисляется в полярных координатах.

Пример. Вычислить поверхность  сферы

 

Решение. Вычислим поверхность верхней половины сферы  (рис.22). В этом случае

Следовательно, подынтегральная функция примет вид

Область интегрирования определяется условием . Таким образом, на основании формулы (4) будем иметь

Для вычисления полученного двойного интеграла перейдём к полярным координатам. В полярных координатах граница области интегрирования определяется уравнением   Следовательно,


На главную