Поверхностные интегралы второго рода

Пример Оценить поток векторного поля через внутреннюю сторону единичной сферы .

Решение. Запишем уравнение единичной сферы в сферических координатах: где . В результате вектор на заданной поверхности можно записать в виде Вычислим векторный элемент площади . Частные производные равны Следовательно, Таким образом, получаем (Этот вектор соответствует внутренней ориентации поверхности.) Находим поток векторного поля через заданную поверхность (или поверхностный интеграл второго рода):

Поясним на примерах, как производится расстановка пределов интегрирования.

а) Примеры.

 1) Приведем к повторному двойной интеграл если область D- треугольник, 

 

Рис. 6. Рис. 7.

ограниченный прямыми y=0, y=x и х=а (рис.7). Если интегрировать сна­чала по у, а потом по х, то внутреннее интегрирование произво­дится от линии у=0 до линии у=х, а внешнее - от точки х=0 до точки х=а. Поэтому

Меняя порядок интегрирования, получим