Поверхностные интегралы второго рода
Пример Оценить поток векторного поля
Решение. Запишем уравнение единичной сферы в сферических координатах:через внутреннюю сторону единичной сферы
.
где
. В результате вектор
на заданной поверхности можно записать в виде
Вычислим векторный элемент площади
. Частные производные равны
Следовательно,
Таким образом, получаем
(Этот вектор соответствует внутренней ориентации поверхности.) Находим поток векторного поля через заданную поверхность (или поверхностный интеграл второго рода):
![]()
Поясним на примерах, как производится расстановка пределов интегрирования.
а) Примеры.
1) Приведем к повторному двойной интеграл
если область D- треугольник,
Рис. 6. Рис. 7.
ограниченный прямыми y=0, y=x и х=а (рис.7). Если интегрировать сначала по у, а потом по х, то внутреннее интегрирование производится от линии у=0 до линии у=х, а внешнее - от точки х=0 до точки х=а. Поэтому
Меняя порядок интегрирования, получим