Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Тройные интегралы в декартовых координатах

Пример Выразить тройной интеграл через повторные интегралы шестью различными способами. Область U расположена в первом октанте и ограничена цилиндром x2 + z2 = 4 и плоскостью y = 3 (рисунок 7). Найти значение интеграла.

Рис.7
Рис.8
Решение. Если порядок интегрирования имеет вид "z-y-x", то повторный интеграл выглядит как Аналогично записывается повторный интеграл для последовательности интегрирования "z-x-y": Теперь рассмотрим случай "x-y-z", т.е. когда первый внутренний интеграл берется по переменной x. Тогда Поскольку проекция тела на плоскость Oyz представляет собой прямоугольник (рисунок 8), то меняя порядок интегрирования по y и z, получаем Наконец повторный интеграл при интегрировании в порядке "y-x-z" (начиная с внутреннего интеграла) имеет вид: Последний шестой вариант записывается в виде: Мы можем использовать любой из шести повторных интегралов чтобы вычислить значение тройного интеграла. Например, используя последний интеграл, получаем: Сделаем замену: Находим окончательный ответ: Нетрудно проверить, что данное значение в точности равно 1/4 объема цилиндра, по которому проводилось интегрирование.

На главную