Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Производные гиперболических функций

Пример Вычислить производную функции .

Решение. Перепишем функцию в виде: Используем формулу производной суммы нескольких функций: Вынесем постоянные множители и вычислим производные степенных функций: Здесь мы использовали выражение . После упрощения получаем

Пример Найти производную функции .

Решение. Перейдем к записи в степенной форме: Производная разности функций равна разности производных этих функций: Вычисляя производные степенных функций, получаем

Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкно­венных определенных интегралов; нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрировании за постоянную. Для краткости правые части фор­мул (А) и (Б) называют повторными (или двукратными) интегра­лами, а сам процесс расстановки пределов интегрирования - при­ведением двойного интеграла к повторному.

Формулы приведения двойного интеграла к повторному приобре­тают особенно простой вид, когда область D является прямоуголь­ником со сторонами, параллельными осям координат (рис.6). В этом случае становятся постоянными пределы не только внеш­него, но и внутреннего интегралов:

  

В других случаях для сведения двойного интеграла к повтор­ному необходимо прежде всего построить область интегрирования; лучше всего изобразить эту область прямо в плоскости Оху, как это сделано на рис. Затем нужно установить порядок интегрирования, т. е. наметить, по какой переменной будет про­изводиться внутреннее интегрирование, а по какой - внешнее, и расставить пределы интегрирования.

Дифференциал функции

Рассмотрим две функции: y1 = f1(x) и y2 = f2(x), которые имеют производные f1¢ (x) и f2¢ (x) в каждой точке некоторой области D. Возьмем какую-либо точку x из области D и дадим аргументу приращение Dx. Тогда функции получат соответственно приращения Dy1 = f1(x + Dx)  f1(x) и Dy2 = f2(x + Dx)  f2(x). Из графиков, изображенных на рисунке 3, видно, что в обоих случаях приращения Dy1 и Dy2 можно представить в виде сумм двух слагаемых:

 Dy1 = (C1 - A1) + (B1 - C1);  Dy2 = (C2 - A2) + (B2 - C2)  (1)

Первые слагаемые в правых частях обоих выражений (1) легко вычисляются из сходных формул: C1 – A1 = tgaDx = f1¢ (x)Dx; C2 – A2 = tgaDx = f2¢ (x)Dx.

Величина f¢ (x) Dx называется главной частью приращения функции y = f(x) в точке x. (Здесь мы говорим только о функции, имеющей в точке x производную). Главная часть приращения функции линейна относительно приращения аргумента Dx (можно сказать – пропор­циональна приращению Dx). Это означает, что если приращение аргумента Dx уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.

Формулы (1) можно переписать в виде:

 Dy1 = f1¢ Dx + r1;  Dy2 = f2¢ Dx + r2. (2)

Здесь r1 = B1 – C1; r2= B2– C2.


На главную