Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд
, имеющий радиус сходимости R > 0:
Функция
является непрерывной функцией при |x| < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. При этом производная степенного ряда выражается формулой
Степенной ряд можно также почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если − R < b < x < R, то выполняется равенство
Если ряд интегрируется на отрезке [0; x], то справедлива формула:
![]()
Пример Показать, что
Решение. Рассмотрим сначала следующий степенной ряд:
Данный ряд является геометрической прогрессией со знаменателем x. Поэтому, он сходится при |x| < 1. Его сумма равна
. Подставляя − x вместо x, получаем
Таким образом,
![]()
Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Если положить промежуток интегрирования бесконечным, то приведенное выше определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому что невозможно осуществить условия n®¥; l®0 для бесконечного промежутка. Для такого интеграла требуется специальное определение.
Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на полубесконечном промежутке [a;¥), тогда несобственным интегралом с бесконечным пределом
называется
, если предел существует. Если этот предел не существует, то не существует и несобственный интеграл. В этом случае принято говорить, что несобственный интеграл расходится. При существовании предела говорят, что несобственный интеграл сходится.
Аналогично
и
.
Примеры: 1.
. Очевидно:
, откуда следует
.
2.
; этот предел не существует, следовательно, не существует или расходится интеграл I.
3.
; здесь предел также не существует, и интеграл расходится.