Пример

Найти производную функции

Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула  достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Преобразуем функцию:

Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Пример

Найти производную функции

Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:

Произведение все-таки дифференцировать проще:

Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На рисунке 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой

 .

Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке 3), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f(x), определяется формулой

.

Перечислим свойства определенного интеграла:

1)   (здесь k ‑ произвольное число);

2) ;

3) ;

4) Если cÎ[a;b], то .

Из этих свойств следует, например, что .