Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Пример. Найти производную функции y = x5.

По формуле для производной степенной функции при  находим

= 5.

Пример. Найти производную функции y =.

Перепишем выражение для y в виде .

По формуле для производной степенной функции при  находим

  Основные правила вычисления производных.

Теорема 10.1. Пусть функция u=φ(x)  имеет в данной точке x0 производную .  Тогда функция y = c∙u имеет в точке x0 производную .

Здесь c – произвольная постоянная.

Доказательство.  Дадим аргументу x приращение ∆ x. Тогда

∆ y = y(x0+∆ x) ─ y(x0) = c∙ φ(x0+∆ x) ─ c∙ φ(x0) = c∙[φ(x0+∆ x) ─ φ(x0)] = c∙∆φ.

Теорема доказана.

Теорема 10.2. Пусть функции u(x) и v(x) имеют в данной точке  x0 производные. Тогда в этой же точке имеют производные и функции u(x) + v(x),  u(x) ─ v(x),

 u(x) ∙ v(x), а также (если v(x0)≠0) функция  ,

 причём (.

Доказательство. Пусть f(x) = u(x) + v(x). Тогда  ∆ f = f(x0+∆ x) ─ f(x0) =

= u(x0+∆ x) ─ u(x0) + v(x0+∆ x) ─ v(x0).

(x0) =  = + =. Таким образом, .

Совершенно аналогично доказывается, что .

Пусть теперь f(x) = u(x) ∙ v(x).  Тогда

∆ f = f(x0+∆ x) ─ f(x0) = u(x0+∆ x) ∙ v(x0+∆ x) ─ u(x0) ∙ v(x0).

Введём для удобства обозначения:  ∆u = u(x0+∆ x) ─ u(x0), ∆v = v(x0+∆ x) ─ v(x0),

u = u(x0), v = v(x0). Тогда u(x0+∆ x) = u + ∆u, v(x0+∆ x) = v + ∆v,

∆f = (u + ∆u) ∙ (v + ∆v) ─ u ∙ v = ∆u ∙ (v + ∆v) + u ∙ ∆v.

Так как функция v(x) дифференцируема (имеет производную) в точке x0, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, при ∆ x→0 и ∆ v→0. Поэтому

 = ∙ v + u ∙ + ∆ v =

=.  Таким образом, .

Пусть далее f(x) =. Тогда

∆ f ==  (здесь обозначения u, v, ∆u, ∆v имеют тот же смысл, что и выше).

  = . Так как ∆ v = 0, то

= =. Таким образом, .

Теорема доказана.

Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Число A называется пределом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

 ,

если для произвольного числа e > 0 найдется такое число d > 0, что для всех точек M(x,y) из d-окрестности точки M0(x0,y0) выполняется неравенство

 |f(x,y) - A|<e .

Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если

 .

Два последних определения фактически повторяют определения предела и непрерывности в точке для функции одной переменной.


На главную