Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Рассмотрим примеры вычисления производной сложной функции.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Введём промежуточную функцию  . Тогда .

.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Здесь .

.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Здесь .

.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифферен­цируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0,

то есть çР0Рç = f(x0,y0) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P0 положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q0, S0 и R0 являются пары чисел соответственно (x0,y0+Dу); (x0+Dx,y0) и (x0+Dx,y0+Dу), причём çQ0Qç = f(Q0), çS0Sç = f(S0) и çR0Rç = f(R0). Приращение Df(х0,у0) функции в точке Р0 равно çRR2ç.

Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно: çQ2Q1ç = f¢y(x0,y0)Dy и çS2S1ç = f¢x(x0,y0)Dx.

Из легко доказываемого равенства

 çR2R1ç = çS2S1ç + çQ2Q1ç

и формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке Р0 равен çR2R1ç.

Так как df(x0,y0) » Df(x0,y0), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.


На главную