Свойства дифференцируемых функций

Возрастание и убывание функции в точке и на интервале

Дадим определение возрастания и убывания функции в точке. Мы будем говорить, что функция y=f(x) возрастает (убывает) в точке c, если найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой при  а при 

(при   а при ).

Напомним определения монотонных и строго монотонных функций на интервале.

Функция называется неубывающей (невозрастающей) на интервале, если для любых x1 и x2 из этого интервала, удовлетворяющих условию x1< x2, справедливо неравенство

  (  ). Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале, если для любых x1 и x2 из этого интервала, удовлетворяющих условию x1< x2, справедливо неравенство

  (  ). Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Докажем теорему, устанавливающую достаточные условия возрастания (убывания) функции.

Теорема 16.1. Если функция f(x)  дифференцируема в точке c и  (  ), то эта функция возрастает (убывает) в точке  c.

Доказательство. Рассмотрим случай . Из определения производной следует, что . Поскольку , то (по теореме о сохранении знака функции, имеющей предел) найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой отношение   остаётся положительным. Но это значит, что в пределах данной окрестности при  а при , т.е. функция f(x) возрастает в точке c. Аналогично доказывается, что при  функция f(x) убывает в точке c.

Теорема доказана.