Свойства дифференцируемых функций
Возрастание и убывание функции в точке и на интервале
Дадим определение возрастания и убывания функции в точке. Мы будем говорить, что функция y=f(x) возрастает (убывает) в точке c, если найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой при
а при
(при
а при
).
Напомним определения монотонных и строго монотонных функций на интервале.
Функция называется неубывающей (невозрастающей) на интервале, если для любых x1 и x2 из этого интервала, удовлетворяющих условию x1< x2, справедливо неравенство
(
). Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.
Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале, если для любых x1 и x2 из этого интервала, удовлетворяющих условию x1< x2, справедливо неравенство
(
). Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
Докажем теорему, устанавливающую достаточные условия возрастания (убывания) функции.
Теорема 16.1. Если функция f(x) дифференцируема в точке c и
(
), то эта функция возрастает (убывает) в точке c.
Доказательство. Рассмотрим случай
. Из определения производной следует, что
. Поскольку
, то (по теореме о сохранении знака функции, имеющей предел) найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой отношение
остаётся положительным. Но это значит, что в пределах данной окрестности при
а при
, т.е. функция f(x) возрастает в точке c. Аналогично доказывается, что при
функция f(x) убывает в точке c.
Теорема доказана.