Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Свойства дифференцируемых функций

Локальный максимум и локальный минимум функции.

Дадим определение локального максимума и локального минимума функции.

Говорят, что функция f(x) имеет в точке c локальный максимум (минимум), если найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой значение   является наибольшим (наименьшим) среди всех значений функции в этой окрестности, то есть всюду в этой окрестности выполняется условие  ( ).

Для обозначения локального максимума и локального минимума функции употребляется единое название локальный экстремум.

Следующая теорема устанавливает необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Теорема 17.1 (называется иногда теоремой Ферма). Если функция f(x) дифференцируема в точке  c и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Доказательство. Так как функция f(x) имеет в точке c локальный экстремум, то она не может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Следовательно, в силу теоремы 16.1 производная   не может быть ни положительна, ни отрицательна, то есть  .

Теорема доказана.

Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что если в точке локального экстремума график функции имеет касательную, то эта касательная параллельна оси абсцисс (рис. 5).

Отметим, что равенство нулю производной является необходимым, но не достаточным условием локального экстремума. Рассмотрим в качестве примера функцию   ( рис.6).

 Производная этой функции . В точке  . Однако функция  возрастает на всей числовой оси и не имеет в точке   локального экстремума.


На главную