Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Исследование функций с помощью производных

Условие постоянства функции на интервале

Рассмотрим достаточное условие постоянства дифференцируемой функции на интервале.

Теорема 21.1. Если функция  дифференцируема на интервале (a;b), и если всюду

на этом интервале , то функция  является постоянной на этом интервале. Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций.

Доказательство. Зафиксируем некоторую точку x0 из интервала (a;b) и возьмём любую другую точку x из этого интервала. Отрезок [x0, x] целиком принадлежит

интервалу (a;b), поэтому функция  дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна всюду на отрезке [x0, x]. Это значит, что для функции  на отрезке [x0, x] выполнены условия теоремы Лагранжа. Следовательно, внутри отрезка [x0, x] найдётся такая точка c, что .  Но так как по условию всюду на интервале (a;b) , то и , а, следовательно, . Это равенство означает, что значение функции  в произвольной точке интервала (a;b) равно её значению в фиксированной точке x0, то есть функция   постоянна всюду на интервале (a;b).

Теорема доказана.


На главную